اگر$f \in L ^ 1 \big( \mu \big)$ثابت کنید به ازای هر$ \delta >0$، $\varepsilon >0$ هست که اگر$ \mu (E)< \delta $...

Question

اگر $f \in L ^ 1 \big( \mu \big) $ثابت کنید به ازای هر $ \varepsilon > 0$ عددی مانند $ \delta > 0$ هست به طوری که وقتی $ \mu (E) < \delta $ انگاه $ \int_E \mid f \mid d \mu < \varepsilon $ .

Answer 1

فرض کنید که شرط $\epsilon-\delta$ برقرار نباشد. یعنی یک $\epsilon>0$ موجود باشد که برای هر $\delta>0$ داشته باشیم $\mu(E)< \delta$ و $\int_E|f|d\mu\geq \epsilon$ .

از جمله برای هر $n$ با قرار دادن $\delta_n=\frac 1{2^n}$ مجموعه های اندازه پذیر $E_n$ موجودند که $\mu(E_n)< \frac 1{2^n}$ و $\int_{E_n}|f|d\mu\geq \epsilon$ .

اگر قرار دهید $$F_k=\cup_{n=k}^\infty E_n$$ و $$F=\cap_{k=1}^\infty F_k=\limsup E_n$$ در اینصورت واضح است که $\mu(F)=0$ (چرا؟) و بنابراین $$\int_F |f|d\mu=0\tag{*}\label{*}$$ (چرا؟)

اما چون $F_1\ \supset F_2\supset \cdots$ و $\nu(E)=\int_E |f|d\mu$ یک اندازه است(چرا؟) و طبق فرض $\int |f|d\mu< \infty$ پس اندازه متناهی است لذا $\int_F|f|d\mu=\nu(F)=\lim_{n\to\infty}\nu(F_n)\geq \epsilon$ که با $\eqref{*}$ در تناقض است

Comments

میشه توضیح بدین چرا  اندازه F صفر است؟؟

---

@cb811
چون $\mu(F_k)\leq \sum_k^\infty \mu(E_n)=\sum_k^\infty \frac 1{2^n}=\frac 1{2^{k-1}}$
اما به ازای هر $\eta>0$ طبق خاصیت ارشمیدسی اعداد $k$ وجود دارد که $\frac 1{2^{k-1}}< \eta$ و از طرفی $\mu(F)\leq \mu(F_k)< \frac 1{2^{k-1}}< \eta$ .
یعنی برای هر $\eta> 0$ ثابت کردیم $\mu(F)< \eta$ و لذا $\mu(F)=0$.

---

خیلی ممنون