Question

به ازای هر $Z$-مدول $A ،$ حاصل $Ext ^{1} _{Z}(Z_{m},A)$ را محاسبه کنید .

Answer 1

دنباله ی دقیق

$$\require{AMScd}\begin{CD} 0 \rightarrow \mathbb{Z} @>m>> \mathbb{Z} \longrightarrow\mathbb{Z}_{m} \longrightarrow 0\end{CD}$$ را در نظر میگیریم و فانکتور $Hom(-,A)$ را اعمال میکنیم آنگاه دنباله ی دقیق زیر را بدست می آوریم: $$\require{AMScd}\begin{CD} 0 \rightarrow Hom(\mathbb{Z}_{m},A) \longrightarrow Hom(\mathbb{Z},A) @>m>> Hom(\mathbb{Z}_{m},A) \end{CD}$$ $$\begin{CD} \longrightarrow Ext ^{1} _{Z}(\mathbb{Z}_{m},A) \longrightarrow Ext ^{1} _{Z}(\mathbb{Z},A) \longrightarrow ...\end{CD}$$

از آنجایی که $Ext ^{1} _{Z}(\mathbb{Z},A)=0$ و $Hom(\mathbb{Z},A) \cong A$ پس دنباله به صورت زیر در می آید.

$$\require{AMScd}\begin{CD} 0 \rightarrow Hom(\mathbb{Z}_{m},A) \longrightarrow A @>m>>A @>f>>Ext ^{1} _{Z}(\mathbb{Z}_{m},A) \longrightarrow 0\end{CD}$$ چون همریختی آخری پوشا است پس از قضیه اول یکسانی $\frac{A}{ker(f)} \cong Ext ^{1} _{Z}(\mathbb{Z}_{m},A)$ اما $ker(f)$ با برد $\begin{CD} A @>m>>A \end{CD}$ یعنی $mA$یکریخت است پس خواهیم داشت:

$Ext ^{1} _{Z}(\mathbb{Z}_{m},A) \cong \frac{A}{mA}$