به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
385 بازدید
در دبیرستان توسط Alireza Zamani

در چهارضلعی ABCD که نقطه O محل برخورد قطر هاست ، مساحت ABO برابر 8 و مساحت DCO برابر 18 است.کمترین مساحت ممکن برای این چهارضلعی چقدر است؟

enter image description here

1) 50

2)45

3)75

4) نمیتوان تعیین کرد.

3 پاسخ

+3 امتیاز
توسط erfanm

enter image description here

طبق فرض داریم: $$ S_{OAB} = \frac{1}{2} xy\ sin( \alpha )=8$$ وهمچنین: $$ S_{OCD} = \frac{1}{2} zw\ sin( \alpha )=18$$

پس برای مینیمم شدن مساحت باید $ S_{OBD} +S_{OCA}$ را مینیمم کنیم میدانیم $$ S_{OBD}= \frac{1}{2} yw\ sin( 180-\alpha )= \frac{1}{2} yw\ sin( \alpha ) $$ و $$S_{OCA} \frac{1}{2} xz\ sin( 180-\alpha )= \frac{1}{2} xz\ sin( \alpha ) $$ پس $$ S_{OCA} \times S_{OBD}= \frac{1}{2} yw\ sin( \alpha ) \times \frac{1}{2} xz\ sin( \alpha )= $$ $$ \frac{1}{2} xy\ sin( \alpha ) \times \frac{1}{2} zw\ sin( \alpha )=8 \times 18=144$$ حاصلضرب دو مساحت مقداری ثابت است پس مجموع زمانی مینیمم است که هر دو برابر باشند یعنی هر کدام برابر $12$ باشند.

مساحت کل مینیمم هم برابر است با: $$ 12+12+8+18=50$$

توسط erfanm
+1
پاسخ این سوال را یکی از دبیران ریاضی فرستادند بنده فقط جواب رو تایپ کردم.
توسط rafig256
در هر صورت هم پاسخ و هم تایپ شما ارزشمند است
+1 امتیاز
توسط

به نام خدا با سلام ،بنده یک اثبات دیگر نیز برایش دارم که عبارت است از: مقدار مساحت کل چهار ضلعی برابر است با: $S(ABO)+S(DCO)+S(BDO)+S(ACO) $که مقادیر $ S(ABO) $و$S(DCO)$داده شده است،پس $ S_{کل} $زمانی کم ترین مقدار است که :$ S(BDO)+S(ACO) $کمترین مقدار باشد.پس داریم:

$S(BDO)=S(ABO). \frac{DO}{AO} $و $S(AOC)=S(ODC). \frac{AO}{DO} $در کل حکم صورت سوال به این شکل میشود: $ min [ \frac{8DO}{AO} + \frac{18AO}{DO} ] $ حال باید مینیمم را بیابیم: $ \frac{8DO}{AO} + \frac{18AO}{DO}=t $برای سهولت کار $ DO=x،AO=y $خواهیم داشت: $ 8 x^{2}-txy+18 y^{2} =o $که در آخر برای یافتن ریشه به این روش عمل میکنیم: $ \frac{ty \pm \sqrt{ t^{2} y^{2}-4 \times 8 \times 18 y^{2} } }{16} $ که در اینجا حداقل $ t $برای اینکه این معادله ریشه موهومی نداشته باشد و در اعداد حقیقی جوابی داشته باشد بدست خواهد آمد :$ \sqrt{4 \times 8 \times 18}=24 $ دقت کنید که 24 حداقل مقدار مساحت دو مثلث مذکور است پس مساحت کل : $24+8+18=50 $

توسط saderi7
+1
خیلی ممنون بابت پاسخ .
چه خوب میشه اگر در سایت ثبت نام کنید وقتتون زیاد گرفته نمیشه !!
–2 امتیاز
توسط

جواب ۵۰ می شود زیرا از آنجایی که شکل مختلف الاضلاع است و قطر ها ان ها را نصف کرده اند و نه با این فرض که ABO با ACO وOBD با OCD مساوی باشند می توان گفت که ۲×۱۸ و ۲×۸ می شود و جمع که شوند ۵۲ می شود پس تقریبا جواب ۵۰ می شود. این روش ها روش های تست زنی کنکوری هستش که نیاز به تمرین زیاد داره...

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...