چگونه شکل مربوط به ضابطهٔ $[x]=[y]$ را رسم کنم؟

Question

نرم‌افزارهای زیادی را برای ترسیم شکل ضابطهٔ‌ای که در زیر آمده‌است امتحان کردم اما به دلیل عدم آشنایی با تمام جزئیات این نرم‌افزارها یا دلایل دیگر به در بسته خوردم. نرم‌افزار میپل Maple و چندین نرم‌افزار فرعی دیگر را امتحان کرده‌ام. $$[y]=[x]$$

floor(y)=floor(x)

یا

floor(y)-floor(x)=0

اگر راه حلی برای این موضوع می‌شناسید لطفا راهنمایی‌ام کنید.

Comments

با علض سلام
اول اینکه این رابطه تابع نیست
دوم رسمش در محور مختصات بصورت مربع مربع میشه
شکلو فردا برای شما میفرستم

---

@Mohsen94
از اینکه در محفل ریاضی فعالیت میکنید و سعی میکنید به سوالات پاسخ بدید سپاسگزاریم. واقعا کسانی که به سوالات جواب میدن کم هستن و محفل ریاضی به کسانی مثل شما نیاز داره.
با این وجود هر جایی قوانین خاص خودشو داره. شاید بهتر بود کسایی که بهتون منفی دادن علتشو توضیح میدادن. شما اخیرا پاسخ هایی که گذاشتید بهتر بود به صورت دیدگاه میذاشتید. چون فرم پاسخ فقط برای وقتی هست که بخواید مساله رو با جزییات کامل پاسخ بدید. مثلا همینجا اینکه نوشتید "شکلو فردا میفرستم" میتونستید دیدگاه بذارید نه پاسخ و یا صبر میکردید فردا پاسخ رو میفرستادید اینجا امکان ارسال پاسخ های بیشتر فراهم شده. و تنها دلیل امتیاز منفی گرفتن شما همین بوده. یا اینکه وقتی میگید "گزینه 4 درسته" این پاسخ نیست! میتونستید دیدگاه بذارید. و همونطور که میبینید مدیران زحمت تبدیل پاسخ به دیدگاه رو کشیدن.
امتیاز مثبت برای تشکر و امتیاز منفی اکثرا برای یادآوری قوانین هست.
موفق و موید باشید.

Answer 1

برای $0\leq x< 1$ داریم $\lfloor y\rfloor =\lfloor x\rfloor=0$ و لذا $0\leq y< 1$ پس در این بازه شکل به صورت مربع $[0, 1)\times [0, 1)$ هست.

به طور کلی برای بازه های به صورت $k\leq x< k+1$ که $k\in\mathbb Z$ داریم $\lfloor y\rfloor = \lfloor x\rfloor=k$ و بنابراین $k\leq y< k+1$ یعنی شکل به صورت مربع $[k, k+1)\times [k, k+1)$ هست.

Answer 2

نمی‌دانم تا چه حد با نرم‌افزار Maple و رسم نمودار با رایانه و برنامه‌نویسی آشنا هستید، فرض را بر این می‌گیرم که با دستور plot در Maple آشنا هستید. دستورِ plot زمانی استفاده می‌شود که نگاشت‌تان (الزامی به تابع بودن ندارد) به شکل صریحِ (explicit) $y=f(x)$ داشته‌باشید. اما در نگاشتِ پرسش شما $y$ با جزء صحیح ظاهر شده‌است پس نگاشت‌تان به شکل ضِمنی (implicit) بیان شده‌است. در این حالت الگوریتمی که باید برنامه برای رسم نمودار استفاده کند با الگوریتمی که plot استفاده می‌کند تفاوت دارد¹. برای همین است که با دستورِ plot نمی‌توانید ترسیمی از Maple بگیرید. دستور مناسب برای ترسیمِ نگاشت‌های ضِمنیِ دوبعدی، دستور implicitplot که در زیربستهٔ implicitplot از بستهٔ plots است می‌باشد. برای جزءصحیح در Maple از همان واژهٔ floor که خودتان هم اشاره داشته‌اید باید استفاده کنید. پس دستور لازم برای رسم شکل‌تان در مثلا همین محدوده‌ای که آقای @fardina استفاده کرده‌اند یعنی $[-3,3]\times [-3,3]$² به شکل زیر می‌شود:

plots[implicitplot][implicitplot](floor(y) - floor(x) = 0, x = -3 .. 3, y = -3 .. 3);

شکل رسم‌شده را در زیر می‌بینید.

همان‌گونه که می‌بینید تقریب خیلی خوبی نشده‌است. به دو روش می‌توانید از Maple بخواهید که این ترسیم را دقیق‌تر کند. یک روش استفاده از گزینهٔ سفارشی‌کردنِ numpoints است که به Maple می‌گوید تا چند نقطه را در ترسیم استفاده کند. به صورت پیش‌فرض این گزینه عدد ۲۰۰ را دارد که برای نگاشت شما کافی نبوده‌است. من آن را در زیر به ۱۰۰۰۰ افزایش دادم. توجه کنید که افزایش تعداد نقاط مؤثر، تعداد محاسبه‌های Maple را افزایش داده و در نتیجه زمان بیشتری برای ترسیم صرف خواهد شد. با کمک دستور time[real]() این زمان را برای رایانهٔ خودم محاسبه کردم که $0.181$ ثانیه شد که عدد زیادی نیست. دستور شامل افزودن این گزینهٔ سفارشی کردن برای افزایش تعداد نقطه‌های مؤثر و همینطور اندازه‌گیری زمان ترسیم را در زیر آورده‌ام.

st:=time[real]();
plots[implicitplot][implicitplot](floor(y)-floor(x)=0,x=-3..3,y=-3..3,numpoints=10000);
time[real]()-st;

شکلِ جدید در زیر قرار داده‌شده‌است.

روش دوم استفاده از گطینهٔ سفارشیِ grid است. کاری که این گزینه می‌کند این است که به Maple می‌گوید در راستای هر محور به چند زیربازه‌تقسیم کند. توجه کنید که می‌توان تقریبا گفت که میزان محاسبات برابر با حالت استفاده از گزینهٔ numpoints خواهد بود با تعداد نقطه‌ها برابر ضرب تعداد تقسیم‌بندی در راستای هر محور. نحوهٔ استفاده از این گزینه برای دستور ترسیمِ این پست برای زمانیکه در راستای هر محور به ۱۰۰ قسمت تقسیم کنیم، و محاسبهٔ زمانِ ترسیم در زیر آمده‌اند.

st:=time[real]();
plots[implicitplot][implicitplot](floor(y)-floor(x)=0,x=-3..3,y=-3..3,grid=[100,100]);
time[real]()-st;

زمان ضرف‌شده تقریبا همان میزان زمان روش دیگر یعنی استفاده از $10000=100\times 100$ نقطه شد، $0.157$ ثانیه. شکل حاصل نیز شبیه همان شکل است که در زیر آورده‌شده‌است.

---

1. برخی از این تفاوت‌ها در برخی از نوشته‌ها -می‌توانید جزوه یا lecture note یا هر چیزی بنامیدشان- در صفحهٔ شخصی‌ام برای دانشجویانم قرار داده‌ام، برای نمونه یادداشت‌های پس‌جلسهٔ پنجم را در این پیوند ببینید، البته مناسب هر مقطعی نیست چون در درسی مرتبط با هندسهٔ جبری محاسباتی ارائه شده‌است. ↩︎

2. خاصلضرب دکارتی دو بازه، به عبارت دیگر مجموعهٔ $\lbrace (x,y)\mid -3\leq x\leq 3,\,-3\leq y\leq 3\rbrace$. ↩︎