نشان دهید $\limsup_{n\to\infty} 1_{A_n}-\liminf_{n\to\infty} 1_{A_n}=1_{\{\limsup_n A_n\setminus \liminf_n A_n\}}$

Question

اگر $(A_n)_{n\geq 1}$ یک دنباله از مجموعه ها باشد نشان دهید $$\limsup_{n\to\infty} 1_{A_n}-\liminf_{n\to\infty} 1_{A_n}=1_{\{\limsup_n A_n\setminus \liminf_n A_n\}}$$

Comments

سوال واضح نیست لطفا ویرایش نمایید یا عکسی از سوال را قرار دهید.

---

خداروشکر که مرجع سوالو نوشته بودید تونستم پیدا کنم و سوالو متوجه بشم.

Answer 1

$$\begin{align}\limsup_{n\to\infty}1_{A_n}&=\inf_{m\geq 1}\sup_{n\geq m}1_{A_n}\\ &=1_{\cap_{m\geq 1}\cup_{n\geq m}A_n}\\ &=1_{\limsup A_n}\end{align}$$

و به همین ترتیب $\liminf_{n\to\infty}1_{A_n}=1_{\liminf A_n}$

و چون $\liminf A_n\subseteq \limsup A_n$ لذا $$1_{\limsup A_n}-1_{\liminf A_n}=1_{\{\limsup A_n\setminus \liminf A_n\}}$$

(در واقع اگر $B\subset A$ آنگاه $1_A-1_B=1_{A\setminus B}$ )