فرض کنید $y= \mid x \mid - [x] $ :
پس $ \mid y \mid = [y]$ . از آنجا که $[y]$ عددی صحیح است پس $ \mid y \mid $ نیز عددی صحیح است . بنابراین $y$ عددی صحیح می باشد .
از آنجا که جمع دو عدد صحیح عددی صحیح می شود پس $y + [x]$ نیز عددی صحیح می باشد ولی طبق تعریف بالا داریم$y + [x] = \mid x \mid $ . در نتیجه $ \mid x \mid $ عددی صحیح می باشد پس $x $ عددی صحیح است . بنابراین $[x]=x$ . حال دو حالت داریم :
حالت اول : $x \geq 0$
در این صورت داریم$$ \mid x \mid = x $$$$ [x] = x $$
پس معادله بالا به صورت زیر در می آید :
$$ \mid x - x \mid = [x-x] $$
$$ 0=0 $$
پس هر عدد صحیح نامنفی جواب معادله بالاست .
حالت دوم: $x < 0$
در این صورت داریم :
$$ [x] = x $$$$ \mid x \mid =-x$$
پس معادله بالا به صورت زیر در می آید :
$$ \mid -x-x \mid = [-x-x] $$
$$ \mid -2x \mid =[-2x] $$
$$-2x = -2x $$
(توجه : چون $ x $ عددی صحیح است پس $-2x$ نیز عددی صحیح است پس $ [-2x]=-2x$ و از آنجا که $x < 0$ پس $-2x > 0$ بنابراین $ \mid -2x \mid = -2x$)
پس هر عدد صحیح منفی نیز جواب معادله بالاست . نتیجه می گیریم هر عدد صحیح جواب معادله بالاست و جواب غی صحیح ندارد .
