معادله جزء صحیح

Question

همه مقادیر x را طوری بیابید که $\mid \mid x \mid -[x] \mid =[ \mid x \mid -[x]]$

Answer 1

فرض کنید $y= \mid x \mid - [x]$ :

پس $\mid y \mid = [y]$ . از آنجا که $[y]$ عددی صحیح است پس $\mid y \mid$ نیز عددی صحیح است . بنابراین $y$ عددی صحیح می باشد . از آنجا که جمع دو عدد صحیح عددی صحیح می شود پس $y + [x]$ نیز عددی صحیح می باشد ولی طبق تعریف بالا داریم$y + [x] = \mid x \mid$ . در نتیجه $\mid x \mid$ عددی صحیح می باشد پس $x$ عددی صحیح است . بنابراین $[x]=x$ . حال دو حالت داریم :

حالت اول : $x \geq 0$

در این صورت داریم

$$\mid x \mid = x$$ $$[x] = x$$

پس معادله بالا به صورت زیر در می آید :

$$\mid x - x \mid = [x-x]$$ $$0=0$$ پس هر عدد صحیح نامنفی جواب معادله بالاست .

حالت دوم: $x < 0$

در این صورت داریم :

$$[x] = x$$ $$\mid x \mid =-x$$ پس معادله بالا به صورت زیر در می آید : $$\mid -x-x \mid = [-x-x]$$ $$\mid -2x \mid =[-2x]$$ $$-2x = -2x$$ (توجه : چون $x$ عددی صحیح است پس $-2x$ نیز عددی صحیح است پس $[-2x]=-2x$ و از آنجا که $x < 0$ پس $-2x > 0$ بنابراین $\mid -2x \mid = -2x$)

پس هر عدد صحیح منفی نیز جواب معادله بالاست . نتیجه می گیریم هر عدد صحیح جواب معادله بالاست و جواب غی صحیح ندارد .

Comments

درود بر شما ولی خیلی توضیح دادی.

---

بنظرم
جواب هرقدر واضح تر و با جزئیات بیشتر، بهتر
تا هر کسی در هر سطحی باشه بتونه متوجه جواب بشه

Answer 2

با کمی دقت متوجه میشیم که معادله هم ارز معادله $| x | =[ | x | ]$ بنابراین به سادگی همه اعداد صحیح جواب معادله هستن.