فرض کنید $X$ یک فضای نرمدار با پایه ی فضای برداری $\{x_n: n\in\mathbb N\}$ باشد. اگر $U$ یک زیرمجموعه باز $X$ باشد و $x\in U$ آنگاه چون همسایگی های صفر جاذب (absorbing) هستند لذا $X=\bigcup _1^\infty n(-x+U)$ و بنابراین $X=< U>$. بنابراین هیچ زیرفضای متناهی بعد از $X$ شامل مجموعه بازی از $X$ نخواهد بود.
برای هر $n\in\mathbb N$ قرار دهید $F_n=< x_1,\cdots,x_n>$ در اینصورت چون هر زیرفضای متناهی بعد از یک فضای نرمدار یک مجموعه بسته در آن فضاست پس $F_n$ ها بسته اند و شامل هیچ زیرمجموعه بازی از $X$ نیستند لذا هیچ جا چگالند. چون $X=\bigcup _1^\infty F_n$ لذا $X$ از کاتگوری نوع اول در خودش است. اما از قضیه بئر می دانیم که هر فضای متریک کامل ناتهی از کاتگوری نوع دوم در خودش است. لذا $X$ نمی تواند باناخ باشد.
منبع: قضیه 1.5.8 از کتاب an introduction to banach space theory نوشته megginson
