تعداد جهش در بالا رفتن از ذیدار

Question

طول دیواری aمتر است.جهنده ای bمتر بالا میرود وc متر به پایین سر می خورد.(c کمتر ازb است).پس از چند جهش به بالای دیوار میرسد؟

Answer 1

جهنده در اولین جهش به اندازه $(b-c)$، طول دیوار رو طی می‌کند. در دومین جهش به اندازه $2(b-c)$، طول دیوار طی می‌کند. و به همین ترتیب، در $k$-ام جهش به اندازه $k(b-c)$، طول دیوار را طی می‌کند. لذا طول دیوار باقی‌مانده برای جهش‌های بعدی $a-k(b-c)$ می‌باشد. در صورتی جهش $(k+1)$-ام خواهیم داشت که باقی‌مانده دیوار بعد از جهش $k$-ام، یعنی: $a-k(b-c)$، کوچکتر یا مساوی طول جهش، یعنی: $b$ و بزرگتر از طول سرخوردن، یعنی: $c$ باشد. بنابراین داریم: $$c< a-k(b-c) \leq b$$ در نتیجه: $$ \begin{align} & -b \leq k(b-c)-a < -c\\ &\Rightarrow a-b \leq k(b-c) < a-c\\ &\Rightarrow \frac{a-b}{b-c} \leq k< \frac{a-c}{b-c}\\ &\Rightarrow \frac{a-b}{b-c} \leq k< \frac{a-b}{b-c}+1 \end{align} $$ عدد صحیحی که در رابطه بالا صدق می‌کند، برابر: $k=-\lfloor{-\frac{a-b}{b-c}}\rfloor=\lceil \frac{a-b}{b-c}\rceil$ می‌باشد. لذا تعداد جهش‌ها برابر خواهد بود با: $$\begin{align} k+1&=-\lfloor{-\frac{a-b}{b-c}}\rfloor+1=-\lfloor{-\frac{a-b}{b-c}-1}\rfloor\\ &=-\lfloor{\frac{c-a}{b-c}}\rfloor=\lceil \frac{a-c}{b-c}\rceil \end{align}$$ تکمیل:

$\surd$ اگر طول دیوار باقی‌مانده کوچکتر یا مساوی طول سرخوردن باشد، آن‌گاه: $$\begin{align} & a-k(b-c)\leq c\\ &\Rightarrow a-kb+kc \leq c\\ &\Rightarrow a-kb \leq c-kc \leq 0\\ &\Rightarrow a\leq kb\\ \end{align} $$ یعنی؛ جهش $(k+1)$-ام نخواهیم داشت.

$\surd$ تعریف تابع سقف: با نماد $\lceil .\rceil$ نمایش داده می‌شود و برای هر عدد حقیقی $x$ به‌صورت زیر تعریف می‌شود. $$\lceil{x}\rceil=\min\lbrace { n \in \mathbb{Z} : :: x \leq n \rbrace}$$ و برای هر عدد حقیقی $x$ داریم: $$\lceil x\rceil=-\lfloor{-x}\rfloor$$

$\surd$ اگر $k$ عدد صحیحی باشد که برای $y \in \mathbb{R}$ در رابطه $y\leq k< y+1$ صدق کند، آن‌گاه:

$$\begin{align} & y\leq k< y+1\\ &\Longleftrightarrow 0\leq k-y< 1\\ &\Longleftrightarrow \lfloor{k-y}\rfloor=0\\ &\Longleftrightarrow k+\lfloor{-y}\rfloor=0\\ &\Longleftrightarrow k=-\lfloor{-y}\rfloor=\lceil y\rceil \end{align}$$

Comments

سلام،آیا فرمول نهایی می توان برای این سوال بیان کرد.

---

منفی جزء‌صحیح (c-a) تقسیم بر (b-c)

Answer 2

جواب :درجهش اول به اندازه ی b-c متر بالا می پرد پس دنباله ی جهش های او به صورت زیر است

$b-c,2(b-c),3(b-c),...k(b-c),....$ لذا برای اینکه به انتهای دیوار برسد باید جمله یkآم آن برابر با aبوده ویا از aبزرگتر باشد پس داریم: $k(b-c)>=a \Rightarrow k>= \frac{a}{b-c} $

Comments

سلام ،
اگر بلندی دیوار 4 متر باشد جهنده 3متر بالا رود و2متر به پایین سر بخورد،با 2جهش به بالای دیوار می رسد،اما با فرمول شماباید 4 جهش بزند .لطفا توضیح دهید.