به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
574 بازدید
در دبیرستان توسط rezasalmanian (872 امتیاز)
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

طول دیواری aمتر است.جهنده ای bمتر بالا میرود وc متر به پایین سر می خورد.(c کمتر ازb است).پس از چند جهش به بالای دیوار میرسد؟

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط Vali Soltani Masih (308 امتیاز)
ویرایش شده توسط admin

جهنده در اولین جهش به اندازه $(b-c)$، طول دیوار رو طی می‌کند. در دومین جهش به اندازه $2(b-c)$، طول دیوار طی می‌کند. و به همین ترتیب، در $k$-ام جهش به اندازه $k(b-c)$، طول دیوار را طی می‌کند. لذا طول دیوار باقی‌مانده برای جهش‌های بعدی $a-k(b-c)$ می‌باشد. در صورتی جهش $(k+1)$-ام خواهیم داشت که باقی‌مانده دیوار بعد از جهش $k$-ام، یعنی: $a-k(b-c)$، کوچکتر یا مساوی طول جهش، یعنی: $b$ و بزرگتر از طول سرخوردن، یعنی: $c$ باشد. بنابراین داریم: $$c< a-k(b-c) \leq b$$ در نتیجه: $$ \begin{align} & -b \leq k(b-c)-a < -c\\ &\Rightarrow a-b \leq k(b-c) < a-c\\ &\Rightarrow \frac{a-b}{b-c} \leq k< \frac{a-c}{b-c}\\ &\Rightarrow \frac{a-b}{b-c} \leq k< \frac{a-b}{b-c}+1 \end{align} $$ عدد صحیحی که در رابطه بالا صدق می‌کند، برابر: $k=-\lfloor{-\frac{a-b}{b-c}}\rfloor=\lceil \frac{a-b}{b-c}\rceil$ می‌باشد. لذا تعداد جهش‌ها برابر خواهد بود با: $$\begin{align} k+1&=-\lfloor{-\frac{a-b}{b-c}}\rfloor+1=-\lfloor{-\frac{a-b}{b-c}-1}\rfloor\\ &=-\lfloor{\frac{c-a}{b-c}}\rfloor=\lceil \frac{a-c}{b-c}\rceil \end{align}$$ تکمیل:

$\surd$ اگر طول دیوار باقی‌مانده کوچکتر یا مساوی طول سرخوردن باشد، آن‌گاه: $$\begin{align} & a-k(b-c)\leq c\\ &\Rightarrow a-kb+kc \leq c\\ &\Rightarrow a-kb \leq c-kc \leq 0\\ &\Rightarrow a\leq kb\\ \end{align} $$ یعنی؛ جهش $(k+1)$-ام نخواهیم داشت.

$\surd$ تعریف تابع سقف: با نماد $\lceil .\rceil$ نمایش داده می‌شود و برای هر عدد حقیقی $x$ به‌صورت زیر تعریف می‌شود. $$\lceil{x}\rceil=\min\lbrace { n \in \mathbb{Z} : :: x \leq n \rbrace}$$ و برای هر عدد حقیقی $x$ داریم: $$\lceil x\rceil=-\lfloor{-x}\rfloor$$

$\surd$ اگر $k$ عدد صحیحی باشد که برای $y \in \mathbb{R}$ در رابطه $y\leq k< y+1$ صدق کند، آن‌گاه:

$$\begin{align} & y\leq k< y+1\\ &\Longleftrightarrow 0\leq k-y< 1\\ &\Longleftrightarrow \lfloor{k-y}\rfloor=0\\ &\Longleftrightarrow k+\lfloor{-y}\rfloor=0\\ &\Longleftrightarrow k=-\lfloor{-y}\rfloor=\lceil y\rceil \end{align}$$
توسط rezasalmanian (872 امتیاز)
سلام،آیا فرمول نهایی می توان برای این سوال بیان کرد.
توسط Vali Soltani Masih (308 امتیاز)
منفی جزء‌صحیح (c-a) تقسیم بر (b-c)
+1 امتیاز
توسط entezar (19 امتیاز)

جواب :درجهش اول به اندازه ی b-c متر بالا می پرد پس دنباله ی جهش های او به صورت زیر است

$b-c,2(b-c),3(b-c),...k(b-c),....$ لذا برای اینکه به انتهای دیوار برسد باید جمله یkآم آن برابر با aبوده ویا از aبزرگتر باشد پس داریم: $k(b-c)>=a \Rightarrow k>= \frac{a}{b-c} $

توسط rezasalmanian (872 امتیاز)
–1
سلام ،
اگر بلندی دیوار 4 متر باشد جهنده 3متر بالا رود و2متر به پایین سر بخورد،با 2جهش به بالای دیوار می رسد،اما با فرمول شماباید 4 جهش بزند .لطفا توضیح دهید.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...