جهنده در اولین جهش به اندازه $(b-c)$، طول دیوار رو طی میکند. در دومین جهش به اندازه
$2(b-c)$،
طول دیوار طی میکند. و به همین ترتیب، در $k$-ام جهش به اندازه
$k(b-c)$،
طول دیوار را طی میکند. لذا طول دیوار باقیمانده برای جهشهای بعدی
$a-k(b-c)$
میباشد. در صورتی جهش $(k+1)$-ام خواهیم داشت که باقیمانده دیوار بعد از جهش $k$-ام، یعنی:
$a-k(b-c)$،
کوچکتر یا مساوی طول جهش، یعنی:
$b$
و بزرگتر از طول سرخوردن، یعنی: $c$ باشد. بنابراین داریم:
$$c< a-k(b-c) \leq b$$
در نتیجه:
$$ \begin{align}
& -b \leq k(b-c)-a < -c\\
&\Rightarrow a-b \leq k(b-c) < a-c\\
&\Rightarrow \frac{a-b}{b-c} \leq k< \frac{a-c}{b-c}\\
&\Rightarrow \frac{a-b}{b-c} \leq k< \frac{a-b}{b-c}+1
\end{align} $$
عدد صحیحی که در رابطه بالا صدق میکند، برابر:
$k=-\lfloor{-\frac{a-b}{b-c}}\rfloor=\lceil \frac{a-b}{b-c}\rceil$
میباشد.
لذا تعداد جهشها برابر خواهد بود با:
$$\begin{align}
k+1&=-\lfloor{-\frac{a-b}{b-c}}\rfloor+1=-\lfloor{-\frac{a-b}{b-c}-1}\rfloor\\
&=-\lfloor{\frac{c-a}{b-c}}\rfloor=\lceil \frac{a-c}{b-c}\rceil
\end{align}$$
تکمیل:
$\surd$ اگر طول دیوار باقیمانده کوچکتر یا مساوی طول سرخوردن باشد، آنگاه:
$$\begin{align}
& a-k(b-c)\leq c\\
&\Rightarrow a-kb+kc \leq c\\
&\Rightarrow a-kb \leq c-kc \leq 0\\
&\Rightarrow a\leq kb\\
\end{align} $$
یعنی؛ جهش $(k+1)$-ام نخواهیم داشت.
$\surd$
تعریف تابع سقف: با نماد
$\lceil .\rceil$
نمایش داده میشود و برای هر عدد حقیقی $x$ بهصورت زیر تعریف میشود.
$$\lceil{x}\rceil=\min\lbrace { n \in \mathbb{Z} : \:\: x \leq n \rbrace}$$
و برای هر عدد حقیقی $x$ داریم:
$$\lceil x\rceil=-\lfloor{-x}\rfloor$$
$\surd$
اگر $k$ عدد صحیحی باشد که برای $y \in \mathbb{R}$ در رابطه
$y\leq k< y+1$
صدق کند، آنگاه:
$$\begin{align}
& y\leq k< y+1\\
&\Longleftrightarrow 0\leq k-y< 1\\
&\Longleftrightarrow \lfloor{k-y}\rfloor=0\\
&\Longleftrightarrow k+\lfloor{-y}\rfloor=0\\
&\Longleftrightarrow k=-\lfloor{-y}\rfloor=\lceil y\rceil
\end{align}$$
