با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال ثابت میکنیم.
نکته : اگر نمودار تابع $y = f(x)$ در بازه $[a,b]$ حول محور $x$ دوران دهیم مساحت جانبی شکل حاصل از فرمول زیر بدست می آید:
$$ 2 \pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+ f'(x)^2 } \ \ dx $$
حال فرض کنید می خواهیم مساحت جانبی مخروطی را بیابیم که شعاع قاعده آن $r$ و طول یال آن $l$ است . برای این کار کافی است خط به معادله $$ y = \frac{r}{\sqrt{l^2-r^2}}x$$ را حول محور $x$ در بازه $[0,\sqrt{l^2-r^2}]$ دوران دهیم تا مخروطی به شعاع قاعده $r$ و طول یال $l$ بدست آید . به شکل زیر توجه کنید :( برای مشاهده بهتر شکل $zoom$ کنید)
توجه: در شکل بالا نقطه $A$ به مختصات $(\sqrt{l^2-r^2},r)$ است . حال داریم :
$$ f' (x)= \frac{r}{\sqrt{l^2-r^2}} $$ پس با استفاده از فرمول بالا مساحت جانبی مخروط برابر است با:
$$2 \pi \int_0^\sqrt{l^2-r^2}( \frac{r}{\sqrt{l^2-r^2}}x)\sqrt{1+(\frac{r}{\sqrt{l^2-r^2}})^2}\ \ dx $$
$$ = \pi rl$$
