نشان دهید $(f_1,f_2)$ اندازه پذیر است اگر و تنها اگر $f_1,f_2$ اندازه پذیر باشند

Question

گیریم $f=(f_1,f_2): \Omega \to E \times F$ نشان دهید که $f:( \Omega , \mathcal A ) \to (E \times F, \mathcal E \otimes \mathcal F )$ اندازه‌پذیر است اگرو تنها اگر $f_1:( \Omega , \mathcal A ) \to (E, \mathcal E )$ و $f_2:( \Omega , \mathcal A ) \to (F, \mathcal F)$ اندازه‌پذیر باشند. لازم به ذکر است $\otimes$ ضرب تانسوری بین سیگما میدان‌هاست. ( که کوچکترین سیگما میدان تولید شده توسط این دو می‌باشد.)

Answer 1

اگر $(f_1, f_2):\Omega\to E\times F$ اندازه پذیر باشد از اندازه پذیر بودن توابع تصویر $\pi_1:E\times F\to E$ و $\pi_2:E\times F\to F$ نتیجه می شود$f_1=\pi_1\circ (f_1,f_2)$و $f_2=\pi_2\circ (f_1,f_2)$ اندازه پذیرند.

و برعکس اگر $f_1$ و $f_2$ اندازه پذیر باشند در اینصورت $$(f_1, f_2)^{-1}(A\times B)=f^{-1}(A)\cap g^{-1}(B)$$ چرا؟ و چون $f,g$ ادازه پذیر ند پس$f^{-1}(A), g^{-1}(B)$ و لذا اشتراک آنها مجموعه ای اندازه پذیر است.