تعریف نقاط گوسی

Question

نقاط گوسی چه نقاطی هستند؟

Comments

جواب سوال رو در حد آنالیز عددی 1 مینویسم اگر کافی بود چه بهتر در غیر اینصورت بگو تا بیشتر توضیح بدم.

Answer 1

محاسبه ی انتگرالهای معین به شکل $ \int_a^b f(x ) $ که در آن $a$ و$b$ متناهی و تابع $f(x) $ بر بازه ی $ [a,b] $ معین باشد، به روشهای تحلیلی یعنی استفاده از تابع اولیه ی $ f(x) $ غالبا مشکل یا حتی غیر ممکن است لذا معمولا در آنالیز عددی سعی میشود با روشهای عددی جواب رو بدست بیاوریم یکی از بهترین روشها استفاده از روش گاوس است. در این روش فرض می شود که $$ \int_a^b f(x ) = \sum_{k=0}^m w_{k}f( x_{k} )+E $$

که در آن $E$ خطای روش است و ضرایب $ w_{k} $ و نقاط $ x_{k}$ مجهول فرض می شوند . پس $2m+2$ مجهول داریم برای بدست آوردن این مجهولات برای توابع $ f(x)=1$ ، $ f(x)=x $ و... $ f(x)= x^{2m+1} $ قرار میدهیم $ E=0 $ به عبارت دیگر کاری میکنیم که $ \sum_{k=0}^m w_{k}f( x_{k} ) $ برای چند جمله ای هایی تا درجه ی $2m+1$دقیق باشد.

اما نقاط گاوسی:

نقاط $ x_{k}$ در تقریب بالا را نقاط گوسی می نامیم.

Comments

سلام آقای منوچهری خیلی ممنون جوابتون بسیار مفید بود یک فرمول(به غیر از فرمول بالا) یا یک دستور در متلب یا در متمتیکا هست که این نقاط رو برای mهای مختلف حساب کنه

---

میتونی به سایت دانشگاه کمبریج به آدرس زیر بری
http://nm.mathforcollege.com/topics/gauss_quadrature.html
یا آدرس زیر که برنامه کلی توشه
 http://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/m_src/legendre_rule_fast/legendre_rule_fast.m

Answer 2

برنامه ی زیر برای محاسبه ی انتگرال توسط روش یک نقطه ای و دو نقطه ای است. اگر آدرس ایمیلت رو در یک نظر خصوصی برام بفرستی برنامه ی کلی رو برات ایمیل میکنم.

Inputs:

%        a = left endpoint of interval

%        b = right endpoint of interval

%        N = number of subintervals

%

%  Required m-file

%        f.m  is m-file for function f(x)

%

%  Outputs:

%        G1 = value from 1-point gaussian quadrature

%        G2 = value from 2-point gaussian quadrature

i=0; N=1; a=0; b=1;

%  Compute exact solution 

    exact=exp(1)-1;

%  Use MATLAB integration command

    %exact=quad('f',a,b);

fprintf('\nExact answer = %e\n',exact);

for n=1:5

    N=N*2;

    i=i+1;

    K(i)=N-1;

    xd=linspace(a,b,N);

    h=xd(2)-xd(1);

%  1-point gaussian quadrature

    sum=0;

    for j=1:N-1

        sum=sum+f(xd(j)+0.5*h);

    end;

    G1(i)=h*sum;


%  2-point gaussian quadrature

    c1=0.5*h*(1-1/sqrt(3));

    c2=0.5*h*(1+1/sqrt(3));

    sum= 0;

    for j=1:N-1

        sum=sum+f(xd(j)+c1)+f(xd(j)+c2);

    end;

    G2(i)=0.5*h*sum;

    errG1(i)=abs(G1(i)-exact);  errG2(i)=abs(G2(i)-exact);

    fprintf('\nNumber of subintervals = %4i \n',K(i));

    fprintf('\nGauss 1 = %e    Gauss 2 = %e \n',G1(i), G2(i));

    fprintf('\nGauss Error 1 = %e    Gauss Error 2 = %e \n\n',errG1(i), errG2(i));

end;

loglog(K,errG1,'-or')

hold on

loglog(K,errG2,'-ob')

grid on

title('Blue = Gauss 2-point     Red = Gauss 1-point','Color','r','FontSize',14)

xlabel('Number of Subintervals','FontSize',14); ylabel('Error','FontSize',14);