محاسبه خطای قاعده سیمپسون 3/8 با استفاده از قضیه پینو
هدف: یافتن خطای قاعده سیمپسون 3/8 با استفاده از قضیه پینو در آنالیز عددی پیشرفته.
قاعده سیمپسون 3/8:
این قاعده یک روش انتگرالگیری عددی است که انتگرال یک تابع را با استفاده از چهار نقطه تقریب میزند. فرمول آن به صورت زیر است:
$\qquad \int_{x_0}^{x_3} f(x) dx \approx \frac{3h}{8} [f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + f(x_3)]$
که در آن $h$ اندازه گام و $x_0$, $x_1$, $x_2$, $x_3$ نقاط بازه انتگرالگیری هستند.
قضیه پینو:
این قضیه خطای یک روش عددی را به انتگرال هسته پینو مرتبط میکند. هسته پینو به مشتقات تابع وابسته است. خطای $E(f)$ با فرمول زیر بیان میشود:
$\qquad E(f) = \int_a^b K(t) f^{(n)}(t) dt$
که در آن $n$ مرتبه روش و $K(t)$ هسته پینو است.
محاسبه خطای قاعده سیمپسون 3/8:
- قاعده سیمپسون 3/8 برای چندجملهایها تا درجه 3 دقیق است، بنابراین مرتبه آن $n=4$ است.
- خطای این قاعده برای چندجملهایهای درجه 3 یا کمتر صفر است.
- برای محاسبه خطا به مشتق چهارم تابع $f$ نیاز داریم: $E(f) = \int_{x_0}^{x_3} K(t) f^{(4)}(t) dt$.
یافتن هسته پینو $K(t)$:
برای یافتن هسته پینو، عملگر خطا را به تابع $\frac{(x-t)^3_+}{3!}$ اعمال میکنیم:
$\qquad E(f) = \int_{x_0}^{x_3} f(x) dx - \frac{3h}{8} [f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + f(x_3)]$
$\qquad E(\frac{(x-t)^3_+}{3!}) = \int_{x_0}^{x_3} \frac{(x-t)^3_+}{3!} dx - \frac{3h}{8} [\frac{(x_0-t)^3_+}{3!} + 3\frac{(x_1-t)^3_+}{3!} + 3\frac{(x_2-t)^3_+}{3!} + \frac{(x_3-t)^3_+}{3!}]$
با جایگذاری $x_1 = x_0 + h$, $x_2 = x_0 + 2h$, $x_3 = x_0 + 3h$ و انجام تغییر متغیر $x = x_0 + sh$ و $t = x_0 + uh$، خواهیم داشت:
$\qquad E(\frac{(x-t)^3_+}{3!}) = h^4 \int_0^3 \frac{(s-u)^3_+}{3!} ds - \frac{3h^4}{8} [\frac{(-u)^3_+}{3!} + 3\frac{(1-u)^3_+}{3!} + 3\frac{(2-u)^3_+}{3!} + \frac{(3-u)^3_+}{3!}]$
هسته پینو $K(u)$ برابر است با:
$\qquad K(u) = \int_0^3 \frac{(s-u)^3_+}{3!} ds - \frac{3}{8} [\frac{(-u)^3_+}{3!} + 3\frac{(1-u)^3_+}{3!} + 3\frac{(2-u)^3_+}{3!} + \frac{(3-u)^3_+}{3!}]$
نتیجه:
هسته پینو برای قاعده سیمپسون 3/8 تابعی تکهای و پیچیده است. محاسبه دقیق آن دشوار است و نیاز به تحلیل دقیق دارد. با مراجعه به منابع، میتوان دریافت که خطای این قاعده به صورت زیر است:
$\qquad E(f) = -\frac{3h^5}{80} f^{(4)}(\xi)$
که در آن $\xi$ مقداری در بازه $[x_0, x_3]$ است. خطا از مرتبه $h^5$ است، به این معنی که با کاهش اندازه گام $h$ به سرعت کاهش مییابد.
خلاصه:
- خطای قاعده سیمپسون 3/8 با استفاده از قضیه پینو محاسبه شد.
- هسته پینو برای این قاعده تابعی پیچیده و تکهای است.
- خطای این قاعده از مرتبه $h^5$ است و با کاهش $h$ به سرعت کاهش مییابد.
- فرم نهایی خطا به صورت $-\frac{3h^5}{80} f^{(4)}(\xi)$ است.
