درونیابی هرمیت را به زبان ساده و با یک مثال توضیح دهید.

Question

در مبحث درون‌یابی‌ها، درونیابی هرمیت کمی سخت است لطفا اگر کسی از دوستان می‌تواند درونیابی هرمیت را به زبان ساده و قابل فهم با ذکر جزئیات و مثالِ حل‌شده توضیح بدهد. ممنون از لطفتان.

Answer 1

درونیابی هرمیت چیز خیلی سختی نیست. متن مسألهٔ درونیابی معمولی به این شکل بود که شما مقادیر یک تابع را در چند نقطه دارید یعنی فقط $f(x_i)$ها را داشتید. اما در مسألهٔ درونیابی هرمیت شما مقدار مشتقات تابع را هم ممکن است داشته باشید یعنی ممکن است مثلا $f'(x_1)$ را هم بدانید. توجه کنید که اصلا الزامی ندارد برای همهٔ نقطه‌هایی که انتخاب کرده‌اید مقدار مشتق اول را داشته باشید، در این مسأله شما آزادید در هر چند تا از نقطه‌ها که می‌خواهید مقدار مشتق اول را بدانید. حتی اصلا نیاز نیست مشتق اول باشد. ممکن است در پنج نقطه مقدار تابع را بدانید و در سه نقطهٔ کاملا متمایز از این سه نقطه مقدار مشتق سوم تابع را بدانید! پس در مسأله اینکه در چند تا از نقطه‌ها کدام مشتق تابع را بدانید آزاد است. تنها چیزی که مهم است این است که جمع کل شرط‌ها (داده‌ها) چند تا است، مثلا در مثال آخر ۵ تا مشتق صفرم می‌دانید و ۳ تا مشتق سوم پس جمع کل شرط‌ها ۸ است. در اینصورت خیلی ساده با استفاده از قضیهٔ اساسی جبر و همینطور از جبرخطی نتیجه می‌شود که یک چندجمله‌ای یکتا از درجهٔ «جمع کل شرط‌ها، منهای یک» دارید که در این شرط‌ها صدق کند. برای نمونه به قضیهٔ ۲.۱.۵.۲ صفحهٔ ۵۲ کتاب Introduction to Numerical Analysis نوشتهٔ Stoer و Bulirch ترجمه‌شده به انگلیسی توسط Bartels، Gautschi و Witzgall ویرایش دوم نگاه کنید. اینکه چگونه این چندجمله‌ای را پیدا کنید مهم نیست و شما در روش حل آزاد هستید، وقتی می‌گویند درونیابی هرمیت منظور فقط اشاره به این است که شرایط شما شامل یک سری داده در مورد مشتق‌های تابع هم هست.

یک مثال کاملا ساده و تصادفی. فرض کنید یک تابع پیوسته و مشتق‌پذیر (حداقل از دو مرتبه) داریم که در شرایط زیر صدق می‌کند و می‌خواهیم آن را با یک چندجمله‌ای از کمترین درجهٔ ممکن (که در این شرایط صدق کند) تقریب بزنیم. $$\begin{array}{lll} f(1)=-1 & f'(1)=0 & f''(1)=1\\ f(2)=5 & & \\ f(3)=-1 & f'(3)=-1 & \end{array}$$ چون ۶ شرط داریم پس درجهٔ چندجمله‌ای مورد نظر ۵ است. ابتدایی‌ترین ایده برای پیدا کردن این چندجمله‌ای استفاده از جبرخطی و حل دستگاه ۶ معادلهٔ خطی- ۶ مجهول است. یعنی قرار دهید $$f(x)=a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$$ سپس با جایگذاری شرط‌ها دستگاه روبروی شمارهٔ (۳) در شکل زیر را داریم. محاسبات قابل‌انجام با دست هستند ولی من با نرم‌افزار Maple انجام دادم. سپس به هر روشی که دوست دارید (برای نمونه روش حذفی گاوس) می‌توانید این دستگاه خطی را حل کنید که پاسخ یکتای روبروی شمارهٔ (۴) را به شما می‌دهد. توجه کنید که در محاسبات میپل من $a_6$ همان $a_0$ است که به دلیل تکنیکی اینگونه نامگذاری کرده‌ام (در میپل صفر نمی‌تواند اندیس یک آرایه از حافظه باشد). و اگر دوست دارید بدانید چندجمله‌ای پاسخ چه بوده‌است به عبارت روبروی شمارهٔ (۵) نگاه کنید (می‌توانید برای خودتان چک کنید که در ۶ شرط داده‌شده صدق می‌کند).

مسلما روش‌های زیادی برای حل این چنین مسأله‌ای هستند مانند کمک‌گرفتن از چندجمله‌ای‌های لاگرانژ و غیره. قضیه‌ها و گزاره‌های زیادی هم هست که بهتر است به کتاب‌های آنالیز عددی که این مبحث را دارند مراجعه کنید (یک نمونه کتاب در بالا اشاره شد).

Comments

ممنون از پاسخ خوب شما
فقط شرط ششم و پنجم عین هم هستند فکر کنم منظور شما از شرط ششم مشتق (3)f بوده

---

خیلی ممنون، مفید بود

---

با تشکر از پاسخ مفید و کامل شما