لطفا یک مثال از روش حذفی گاوس با محور گیری کامل (ماتریس 3 در 3) حل کنید و روش حل را در صورت امکان توضیح دهید.

Question

لطفا یک مثال از روش حذفی گاوس با محور گیری کامل (ماتریس $3 \times 3$ حل کنید و روش حل را در صورت امکان توضیح دهید.

Answer 1

تا آنجایی که من میدونم در روش حذفی گاوس با محور گیری کلی دنبال بزرگترین درایه در زیر ماتریس مربعی باقیمانده در هر مرحله می گردیم بطور مثال برای ماتریس

$$\begin{bmatrix}1 &2 & 4\\4 & 5 & 8\\-2 & 1 & 2\end{bmatrix}$$

چون درایه $a_{23}$ بزرگترین است پس با جابه جایی سطر اول با دوم و ستون سوم با اول به ماتریس زیر می رسیم.

$$\begin{bmatrix} 4 & 5 & 8\\1 &2 & 4\\-2 & 1 & 2\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 8 & 5 & 4\\4 &2 & 1\\2 & 1 & -2\end{bmatrix}$$

حال با روش حذفی درایه های زیر $a_{11}$ را صفر میکنیم و به ماتریس زیر میرسیم:

$$\begin{bmatrix} 8 & 5 & 4\\0 & -\frac{1}{2} & -1\\0 & -\frac{1}{2} & -3\end{bmatrix}$$

در این مرحله بزرگترین درایه همان $-3$ است لذا بایدسطر دوم را با سوم عوض کنیم همچنین سطر سوم را با دوم تا به ماتریس زیر برسیم:

$$\begin{bmatrix} 8 & 5 & 4\\0 &-3 & -\frac{1}{2}\\0 & -1 & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}$$ حال دوباره از روش حذفی استفاده می کنیم: $$\begin{bmatrix} 8 & 5 & 4\\0 &-3 & -\frac{1}{2}\\0 &0& -\frac{1}{3}\end{bmatrix}$$