Question

دستگاه معادلات زیر را به روش حذفی گاوس حل کنید.

$$\begin{cases}x_1+2x_2+8x_3=7 & \\2x_1+4x_2+16x_3=14 & \\ x_2+3x_3=4 \end{cases}$$

می‌دانم که از روش حذفی گاوس باید ماتریسی که براساس معادلات می‌نویسیم، بالا مثلثی یا پایین مثلثی بشه، من برای این مثال چندین بار نوشتم، هر جوری هم که می نویسیم یه دفعه کامل سطر اول صفر می‌شه (در معادله اولی ۲ برابر معادله دومی هست و اگه در منفی‌اش ۲ برابر اولی ضرب و با سطر ۲ جمع کنم و در سطر یک بزارم کامل صفر می‌شه). و نمی‌تونم حل کنم. نمی‌دونم ایراد کارم کجاست. ممنون می‌شوم راهنماییم کنید. با تشکر.

Answer 1

به نام خدا

$$\begin{cases}x_1+2x_2+8x_3=7 & \\2x_1+4x_2+16x_3=14 & \\ x_2+3x_3=4 \end{cases}$$

هیچ جواب واحدی برای این دستگاه معادلات وجود ندارد. در واقع، این دستگاه معادلات، نامتناهی جواب دارد که به‌صورت زیر هستند:

$$(\color{black}{x_1}, \color{black}{x_2}, \color{black}{x_3}) = (\color{black}{-1-2x_3}, \color{black}{4-3x_3}, \color{black}{x_3}),x_3\in\mathbb{R}$$

تعداد نامتناهی جواب این معادله، همگی با این الگو تعریف می‌شوند. پس به همین دلیل است که نمی‌توانید آن را به روش حذفی گاوس حل کنید و یک سطر کامل صفر می‌شود؛ زیرا معادله نامتناهی جواب دارد و نه فقط یک جواب واحد.

Comments

@Math.Al ممنونم. ببخشید الان $x_3$ چطور به دست میاد؟ چونx1 و x2 بر اساس اون هست. متوجه نمیشم. میشه بیشتر توضیح بدید.چطور این رو بفهمم.

---

@M.SH بجای $x_3$ باید یک مقدار حقیقیِ دلخواه قرار دهید تا مجموعه جواب دستگاه به‌دست آید. چون تعداد مجموعه جواب‌های دستگاه بی‌نهایت است؛ بنابراین برای $x_3$ یک مقدار واحد وجود ندارد. در واقع $x_3$ برابر با هر مقداری در مجموعۀ اعداد حقیقی می‌تواند باشد.

---

@Math.Al  ببخشید این قسمتی که نوشتید $(x_1,x_2,x_3)$ هم میشه یه توضیحی بدید، چطور به دست اومده؟ ممنون میشم.
ما تازه این ها رو یاد گرفتیم خیلی دقیق بلد نیستم.
ممنون میشم توضیح بدید. لطفا.
با تشکر.

---

@M.SH با حذف معادلهٔ اول از دستگاه معادله (زیرا در واقع معادلهٔ اول و دوم یک معادله هستند) می‌توان به‌راحتی دستگاه معادله را برحسب یکی از متغیرها به‌روش جایگذاری حل کرد و به همان جواب‌هایی که در پاسخ نوشتیم برسیم.

---

@Math.Al  متوجه شدم. فهمیدم. خیلی ممنونم از توضیحاتتون.