روش ایتکن را به زبان ساده توضیح دهید.

Question

با سلام لطفا روش ایتکن را به زبان ساده توضیح دهید.

Comments

لطفا قبل از ارسال سوال قسمت راهنمای سایت را مطالعه فرمایید.
راهنمایی های مربوط به قسمت پرسش:
2. از مطرح کردن چه نوع پرسش هایی باید اجتناب کرد؟
از پرسیدن پرسش هایی کلی مثل " مشتق را توضیح دهید" پرهیز کنید. چون مطمئنا کاربران نمی توانند اینجا کتاب بنویسند!
مطمئنا شما در مورد قسمتی از این روش سوال دارید. لطفا با تمام جزییات سوالتونو توضیح بدید و دقیقا به مشکلی که دارید اشاره کنید.
ممنون.

Answer 1

روش ایتکن برای محاسبه ریشه یک تابع: فرض کنیم تابع پیوسته و مشتق‌پذیر $g(x)$ از بازه $[a,b]$ به توی $[a,b]$ باشد آن‌گاه معادله $x-g(x)=0$ دارای ریشه $c$ می‌باشد. روش ایتکن که به صورت خطی و معمولا بسیار کند به ریشه همگراست را به صورت زیر بیان می‌کنند:

فرض می‌شود $|g'(c)|< 1$ باشد، با $x_0 \in [a,b]$ شروع می‌کنیم و دنباله‌ای از $\widehat{x_n}$ را می‌سازیم که نهایتا به $c$ همگرا می‌باشند.

1:$n=1$

2: قرار می‌دهیم: $x_1:=g(x_0)$ و $x_2:=g(x_1)$

3: $\widehat{x_n}=x_2- \frac{(x_2 -x_1 )^2}{(x_2-x_1)-(x_1-x_0)}$

4: اگر $| \widehat{x_n}-x_2 |< \varepsilon$ آنگاه
$c=\widehat{x_n}$ و ریشه با خطای $\varepsilon$ محاسبه شد و الگوریتم خاتمه یافت.

5: $x_0=\widehat{x_n}$ قرار داده و به مرحله 2 برگرد.

برای مطالعه بیش‌تر می‌توان به اتکینسن مراجعه کرد.

Comments

لطفا یک مثال با راه حل از روش ایتکن بیاورید.

Answer 2

بعنوان مثال اگر بخواهیم جواب معادله ی $x-cosx=0$ را در بازه ی $[0,1]$ وباروش نقطه ثابت با نقطه ی شروع $x_{0} =0.5$ و استفاده از $x_{k+1}=g( x_{k} )=cos( x_{k} )$ را با تقریب $5$رقم اعشار بیابیم نقاط زیر را داریم:

$x_{1} =0.87758$ $x_{2} =0.63901$ $x_{3} =0.80269$ $x_{4} =0.69478$ $x_{5} =0.76820$ $x_{6} =0.71917$

حال همین نقاط را بکار میبریم و از روش ایتکن استفاده میکنیم تا سرعت همگرایی را افزایش دهیم: برای نقاط $x_{0} =0.5$ و $x_{1} =0.87758$ و $x_{2} =0.63901$ تمام محاسبات رو مینویسم و بقیه بطور مشابه محاسبه میشوند.

فرمول کلی بصورت $\widehat{x_n}=x_2- \frac{(x_{n+1} -x_n )^2}{(x_{n+2}-2x_{n+1}+x_n)}$ است.لذا:

$$\widehat{x_0}=x_0- \frac{(x_1 -x_0 )^2}{(x_2-2x_1+x_0)} =0.5- \frac{(0.87758 -0.5 )^2}{(0.63901-2 \times 0.87758+0.5)}= 0.5- \frac{0.1425667}{-0.61615} =0.5+0.2313831=0.7313831 \sim 0.73139$$

و

$$\widehat{x_1}=x_1- \frac{(x_2 -x_1 )^2}{(x_3-2x_2+x_1)} =0.87758 - \frac{(0.63901 -0.87758 )^2}{(0.80269-2 \times 0.63901+0.87758 )}= 0.87758 - \frac{0.0569156}{0.40225} =0.87758 - 0.1414931=0.7360869 \sim 0.73609$$

و بطور مشابه

$\widehat{x_{1} }=0.73609$ $\widehat{x_{2} }=0.73765$ $\widehat{x_{3} } =0.73847$ $\widehat{x_{4} }=0.73880$

همانطور که مشاهده میشود سرعت همگرایی افزایش یافته است.

جواب صحیح با دقت $5$رقم اعشار برابر $0.73908$ است.

البته همانطور که آقای محمدی بیان کردند( الگوریتمی که نوشتند) اگر جواب $\widehat{x_0}$ را در الگوریتم نقطه ثابت جایگذاری کنیم و دو نقطه ی بعدی را بیابیم(بعنوان
$x_1$ و $x_2$ ) و دوباره از الگوریتم ایتکن استفاده کنیم و$\widehat{x_0}$ جدید را بیابیم سرعت همگرایی باز بیشتر می شود.

Comments

خیلی ممنون بسیار مفید بود

---

خواهش میکنم موفق باشید.

---

ببخشید میشه توضیح مختصری در مورد روش ایتکن  بدین ؟ و اینکه کجاها کاربرد داره؟