بعنوان مثال اگر بخواهیم جواب معادله ی $ x-cosx=0$ را در بازه ی $[0,1] $ وباروش نقطه ثابت با نقطه ی شروع $ x_{0} =0.5 $ و استفاده از $ x_{k+1}=g( x_{k} )=cos( x_{k} ) $ را با تقریب $5$رقم اعشار بیابیم نقاط زیر را داریم:
$ x_{1} =0.87758 $
$ x_{2} =0.63901 $
$ x_{3} =0.80269 $
$ x_{4} =0.69478 $
$ x_{5} =0.76820 $
$ x_{6} =0.71917 $
حال همین نقاط را بکار میبریم و از روش ایتکن استفاده میکنیم تا سرعت همگرایی را افزایش دهیم: برای نقاط $ x_{0} =0.5 $ و $ x_{1} =0.87758 $ و $ x_{2} =0.63901 $ تمام محاسبات رو مینویسم و بقیه بطور مشابه محاسبه میشوند.
فرمول کلی بصورت
$ \widehat{x_n}=x_2- \frac{(x_{n+1} -x_n )^2}{(x_{n+2}-2x_{n+1}+x_n)} $ است.لذا:
$$ \widehat{x_0}=x_0- \frac{(x_1 -x_0 )^2}{(x_2-2x_1+x_0)} =0.5- \frac{(0.87758 -0.5 )^2}{(0.63901-2 \times 0.87758+0.5)}= 0.5- \frac{0.1425667}{-0.61615} =0.5+0.2313831=0.7313831 \sim 0.73139$$
و
$$ \widehat{x_1}=x_1- \frac{(x_2 -x_1 )^2}{(x_3-2x_2+x_1)} =0.87758 - \frac{(0.63901 -0.87758 )^2}{(0.80269-2 \times 0.63901+0.87758 )}= 0.87758 - \frac{0.0569156}{0.40225} =0.87758 - 0.1414931=0.7360869 \sim 0.73609$$
و بطور مشابه
$\widehat{x_{1} }=0.73609 $
$\widehat{x_{2} }=0.73765 $
$ \widehat{x_{3} } =0.73847 $
$ \widehat{x_{4} }=0.73880 $
همانطور که مشاهده میشود سرعت همگرایی افزایش یافته است.
جواب صحیح با دقت $5$رقم اعشار برابر $ 0.73908 $ است.
البته همانطور که آقای محمدی بیان کردند( الگوریتمی که نوشتند) اگر جواب $ \widehat{x_0} $ را در الگوریتم نقطه ثابت جایگذاری کنیم و دو نقطه ی بعدی را بیابیم(بعنوان
$ x_1$ و $ x_2 $ ) و دوباره از الگوریتم ایتکن استفاده کنیم و$ \widehat{x_0} $ جدید را بیابیم سرعت همگرایی باز بیشتر می شود.
