مرتبه همگرایی روش ایتکن

Question

اگر امکان دارد مرتبه همگرایی روش ایتکن را توضیح دهید.

Answer 1

ایده‌ی اصلی روش ایتکن از آن‌جا می آید که می‌گوید اگر دنباله‌ی
${x_n}$ را طوری بسازیم که برای $n\geqslant0$ معادله‌ی $x_{n+1}:=g(x_n)$ برقرار باشد آن‌گاه داریم که

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{c-x_{n+1}}{c-x_{n}} =g'(c) \qquad \qquad (1)$$

حال اگر فرض کنیم که $0< |g'(c)|< 1$

آن‌گاه با در نظر گرفتن

$$\lambda _n= \frac{x_n-x_{n-1}}{x_{n-1}-x_{n-2}}\quad \quad \quad n\geq2$$

می‌توان ثابت کرد که

$\ \lim_{n \rightarrow \infty} \lambda _n =g'(c)$

و از آن‌جا می‌توان به فرم کلی (روش کلی) ایتکن رسید که به صورت زیر می‌باشد

$$\widehat{x_n}=x_n- \frac{(x_n -x_{n-1} )^2}{(x_n-x_{n-1})-(x_{n-1}-x_{n-2})} \quad \quad \quad n\geq 2$$

که $\widehat{x_n}$ به $c$ همگرا می‌شود.

حال برای جواب سوال شما در رابطه (1) اگر $n \rightarrow \infty$ و قرار دهیم $a=1$ و $p=1$ آن‌گاه می‌توان گفت

$$|c-x_{n+1}|< a |c-x _n|^p$$

که این همان تعریف مرتبه همگرایی می‌باشد و چون $p=1$ می‌باشد پس خطی است.

Comments

بسیار متشکرم خیلی کمکم کردید