ایدهی اصلی روش ایتکن از آنجا می آید که میگوید اگر دنبالهی
$ {x_n} $
را طوری بسازیم که برای
$n\geqslant0$
معادلهی
$x_{n+1}:=g(x_n)$
برقرار باشد
آنگاه داریم که
$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{c-x_{n+1}}{c-x_{n}} =g'(c) \qquad \qquad (1)$$
حال اگر فرض کنیم که
$0< |g'(c)|< 1$
آنگاه با در نظر گرفتن
$$ \lambda _n= \frac{x_n-x_{n-1}}{x_{n-1}-x_{n-2}}\quad \quad \quad n\geq2$$
میتوان ثابت کرد که
$\ \lim_{n \rightarrow \infty} \lambda _n =g'(c)$
و از آنجا میتوان به فرم کلی (روش کلی) ایتکن رسید که به صورت زیر میباشد
$$ \widehat{x_n}=x_n- \frac{(x_n -x_{n-1} )^2}{(x_n-x_{n-1})-(x_{n-1}-x_{n-2})} \quad \quad \quad n\geq 2 $$
که
$\widehat{x_n}$ به
$c$ همگرا میشود.
حال برای جواب سوال شما در رابطه (1) اگر $n \rightarrow \infty$
و قرار دهیم
$a=1$
و
$p=1$
آنگاه میتوان گفت
$$|c-x_{n+1}|< a |c-x _n|^p$$
که این همان تعریف مرتبه همگرایی میباشد و چون $p=1$ میباشد پس خطی است.
