چند جمله ای درونیاب نه تنها میتونند توابع را درونیابی کنن بلکه میتونند مراتب معینی از مشتقات تابع را هم درونیابی کنند.
فرض کنید مقدار تابع f در نقاط x_{0} , x_{1} ,.... x_{n} داده شده باشد برای درونیابی خود تابع باید تابع p راطوری بیابیم که برای هر 0 \leq i \leq n داشته باشیم p( x_{i} )=f( x_{i} ) باشد وحال فرض مقدار مشتق تابع f در همون نقاط رو هم داشته باشیم لذا به شرایط بالا شرط اینکه برای هر 0 \leq i \leq n داشته باشیم p'( x_{i} )= f' ( x_{i} ) را اضافه میکنیم پس در کل 2n+2 شرط داریم لذا باید درجه ی p حداکثر برابر 2n+1 باشد.لذا چندجمله ای به فرم زیر است که در آن A_{i} و B_{i} چند جمله ای هایی از درجه ی حداکثر 2n+1 هستند:
p(x)= \sum_{i=0}^n A_{i}f( x_{i} ) + \sum_{i=0}^n B_{i} f' ( x_{i} )
A_{i} و
B_{i} در شرایط زیر باید صدق کنند:
p( x_{i} )=f( x_{i} ) \Rightarrow \begin{cases} A_{i}( x_{j})=1 & i = j\\A_{i}( x_{j})=0 & i \neq j\end{cases} \ \ \ ,B_{i}( x_{j})=0 \ \ \ \ \ \ (1)
p'( x_{i} )= f' ( x_{i} ) \Rightarrow \begin{cases} B_{i}( x_{j})=1 & i = j\\B_{i}( x_{j})=0 & i \neq j\end{cases} \ \ \ ,A' _{i}( x_{j})=0 \ \ \ \ \ \ (2)
میتوان
B_{i} ,
A_{i} ها را بصورت زیر در نظر گرفت:(به کمک چند جمله ای های لاگرانژ)
A_{i}( x )= \gamma _{i}(x) {L^{2}}_{i}(x)
B_{i}( x)= \delta _{i}(x) {L^{2}}_{i}(x)
چون در جه ی
{L^{2}}_{i}(x) برابر
2n است لذا
\gamma _{i}(x) و
\delta _{i}(x) در جه یک هستند فرض کنید که
\gamma _{i}(x)= a_{i} x+ b_{i} و
\delta _{i}(x)= c_{i} x+ d_{i}
حال با توجه به شرایط و روابط (1) ,(2) بسادگی میتوان دید که
a_{i}=-2 L' _{i}(x_{i}) \\b_{i}=1+2x_{i}L' _{i}(x_{i}) \\ c_{i}=1 \\ d_{i}=-x_{i}
حال با جایگذاری روابط اخیر در فرم اولیه قرار داده شده برای p(x) خواهیم داشت:
p(x)= \sum_{i=0}^n [1-2(x-x_{i}) L' _{i}(x_{i})]{L^{2}}_{i}(x) f( x_{i} ) + \sum_{i=0}^n (x-x_{i}) {L^{2}}_{i}(x)f' ( x_{i} )
این رابطه را چند جمله ای درونیاب هرمیت مینامیم.
مثال:
