چند جمله ای درونیاب نه تنها میتونند توابع را درونیابی کنن بلکه میتونند مراتب معینی از مشتقات تابع را هم درونیابی کنند.
فرض کنید مقدار تابع $f $ در نقاط $ x_{0} , x_{1} ,.... x_{n} $ داده شده باشد برای درونیابی خود تابع باید تابع $ p $ راطوری بیابیم که برای هر $0 \leq i \leq n $ داشته باشیم $p( x_{i} )=f( x_{i} ) $ باشد وحال فرض مقدار مشتق تابع $ f $ در همون نقاط رو هم داشته باشیم لذا به شرایط بالا شرط اینکه برای هر $0 \leq i \leq n $ داشته باشیم $ p'( x_{i} )= f' ( x_{i} ) $ را اضافه میکنیم پس در کل $2n+2$ شرط داریم لذا باید درجه ی $ p $ حداکثر برابر $2n+1 $ باشد.لذا چندجمله ای به فرم زیر است که در آن $ A_{i} $ و$ B_{i} $ چند جمله ای هایی از درجه ی حداکثر $2n+1$ هستند:
$$p(x)= \sum_{i=0}^n A_{i}f( x_{i} ) + \sum_{i=0}^n B_{i} f' ( x_{i} ) $$
$ A_{i} $ و$ B_{i} $ در شرایط زیر باید صدق کنند:
$$p( x_{i} )=f( x_{i} ) \Rightarrow \begin{cases} A_{i}( x_{j})=1 & i = j\\A_{i}( x_{j})=0 & i \neq j\end{cases} \ \ \ ,B_{i}( x_{j})=0 \ \ \ \ \ \ (1)$$
$$p'( x_{i} )= f' ( x_{i} ) \Rightarrow \begin{cases} B_{i}( x_{j})=1 & i = j\\B_{i}( x_{j})=0 & i \neq j\end{cases} \ \ \ ,A' _{i}( x_{j})=0 \ \ \ \ \ \ (2)$$
میتوان $ B_{i} $ , $ A_{i} $ ها را بصورت زیر در نظر گرفت:(به کمک چند جمله ای های لاگرانژ)
$$ A_{i}( x )= \gamma _{i}(x) {L^{2}}_{i}(x) $$
$$ B_{i}( x)= \delta _{i}(x) {L^{2}}_{i}(x) $$
چون در جه ی $ {L^{2}}_{i}(x) $ برابر $2n$ است لذا $ \gamma _{i}(x) $ و $ \delta _{i}(x) $ در جه یک هستند فرض کنید که $ \gamma _{i}(x)= a_{i} x+ b_{i} $ و $ \delta _{i}(x)= c_{i} x+ d_{i} $
حال با توجه به شرایط و روابط $(1) ,(2) $ بسادگی میتوان دید که
$$a_{i}=-2 L' _{i}(x_{i}) \\b_{i}=1+2x_{i}L' _{i}(x_{i}) \\ c_{i}=1 \\ d_{i}=-x_{i}$$
حال با جایگذاری روابط اخیر در فرم اولیه قرار داده شده برای $ p(x) $ خواهیم داشت:
$$ p(x)= \sum_{i=0}^n [1-2(x-x_{i}) L' _{i}(x_{i})]{L^{2}}_{i}(x) f( x_{i} ) + \sum_{i=0}^n (x-x_{i}) {L^{2}}_{i}(x)f' ( x_{i} ) $$
این رابطه را چند جمله ای درونیاب هرمیت مینامیم.
مثال:
