برای یافتن چندجملهای درونیاب مثلثاتی (Trigonometric Interpolating Polynomial) برای تابع متناوب
$f $
با دادههای زیر:
$
f(0) = 2,\quad f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{1}{2},\quad f\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}
$
فرض میکنیم تابع
$f $
دارای دوره تناوب
$ 2\pi$
باشد و از درونیابی فوریهای با سه نقطه استفاده کنیم. چون تعداد نقاط
$N = 3$
است، چندجملهای درونیاب مثلثاتی به صورت زیر خواهد بود:
⚙️ فرم کلی چندجملهای درونیاب مثلثاتی با ۳ نقطه:
$
P(x) = a_0 + a_1 \cos(x) + b_1 \sin(x)
$
مرحله 1: محاسبه ضرایب
ضریب
$a_0$
$
a_0 = \frac{1}{3} \left[ f(0) + f\left(\frac{2\pi}{3}\right) + f\left(\frac{4\pi}{3}\right) \right] = \frac{1}{3} \left(2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{3} = 1
$
ضریب
$ a_1$
$
a_1 = \frac{2}{3} \left[ f(0)\cos(0) + f\left(\frac{2\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + f\left(\frac{4\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) \right]
$
$
= \frac{2}{3} \left[ 2(1) + \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}) \right] = \frac{2}{3} \left[ 2 - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \right] = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1
$
ضریب
$ b_1$
$
b_1 $= $\frac{2}{3} \left[ f(0)\sin(0) + f\left(\frac{2\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) + f\left(\frac{4\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) \right]
$
$
= \frac{2}{3} \left[ 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \right] = \frac{2}{3} \cdot 0 = 0
$
نتیجه نهایی:
$
P(x) = 1 + \cos(x)
$
