به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
220 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط کیوان عباس زاده (3,100 امتیاز)
دوباره دسته بندی کردن توسط AmirHosein

فرض کنید : $$A= \lbrace (x,y)\in R^2- \lbrace(0,0)\rbrace \ | \ x,y\in \lbrace 0,1,...,n\rbrace \rbrace $$ نشان دهید حداقل تعداد دایره های لازم به مرکز مبدا مختصات برای پوشاندن تمام نقاط مجموعه $A$ , $n$ است .

توسط N (113 امتیاز)
+1
احتمالا دایره های مورد نظر شما شرط دیگری هم داشته اند که از قلم افتاده است چرا که دایره ای به شعاع به اندازه کافی بزرگ می تواند تمام نقاط را مجموعه مفروض را بپوشاند.
توسط farhad (642 امتیاز)
+1
![enter image description here][1]


  [1]: http://math.irancircle.com/?qa=blob&qa_blobid=4924268313009648947
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
@N منظور از پوشاندن، پوشاندن با سطح داخلی دایره نبوده‌است بلکه با مرز دایره (محیطش) بوده‌است. @farhad پرسش را درست متوجه شده‌اند و کاملا درست می‌گویند که حداقل تعداد دایره‌های لازم بیشتر از $n$ است. و خواستهٔ پرسش تنها با در نظر گرفتن $n$ نقطهٔ روی یک سمت یکی از محورها به صورت بدیهی ثابت می‌شود.

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (1,257 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ

مجموعه $A$ تعریف شده در صورت مسأله را مربع مطلوب $n \times n$ مینامیم و تعداد دایره های لازم برای پوشاندن این مربع را $S(n)$ تعریف می کنیم.

در مربع مطلوب $n \times n$ هر نقطه دلخواه $(k,n-k)$ که $0 \leq k \leq n$ به کمک دایره $x^2+y^2=k^2+(n-k)^2$ پوشانده می شود و این دایره نقطه $(n-k,k)$ را نیز می پوشاند و چون در ربع اول هر دایره به مرکز مبدأ یک بیک است نقاط به صورت $(s,t)$ را که $0 \leq s,t \leq n$ و $k \neq s$ و $t \neq n-k$ نمی پوشاند.پس برای پوشاندن $2n+1$ نقطه از $A(n)-A(n-1)$ دایره لازم است.اما در هر مرحله این نقاط ممکن است قبلن به کمک دایره های دیگر پوشانده شده باشند مثلن نقطه $(8,1))$ و $(1,8)$ که در مرحله $8$ قرار دارد قبلن در مرحله $7$ توسط دایرۀ $x^2+y^2=7^2+4^2 $ پوشانده شده است.با این توضیحات اگر در مرحلۀ $n+1$ نقطه‌ای مانند $(n+1,k)$ قبلن به کمک دایره گذرنده از مثلن $(m,s)$ پوشانده شده باشد باید از مجموع ما حذف شود.پس اگر قرار دهیم:

$X(n+1)=[k|0 \leq k \leq n+1 \wedge \exists m,s|1 \leq m \leq \leq n,0 \leq s \leq m,(n+1)^2=m^2+s^2-k^2]$

$S(n+1)=S(n)+n+2-S(X(n+1))$

$ \Box $

توسط قاسم شبرنگ (1,257 امتیاز)
با عرض معذرت اثبات من در مرحله آخر ایراد دارد.باید به جای n+1 قرار داد n+m .
امیدوارم بتوانم ایراد را رفع و کامل کنم.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...