توپولوژی و فضای توپولولیک

Question

سلام

یک توپولوژی در مجموعه $ X $ گردایه ای مانند $ \tau $ از زیر مجموعه های $ X $ است که در شرایط زیر صدق کند:

1)$ X, \emptyset $ به $ \tau$ متعلق اند.

2)اجتماع اعضای هر زیر گردایه $ \tau $ متعلق است به $ \tau$.

3)مقطع اعضای هر زیر گردایه متناهی $ \tau $ متعلق است به $ \tau $.

من چند تا از سوال از این تعریف دارم :

الف)گردایه همون مجموعه است یا تعریف دیگه ایی دارد ؟ واینکه مجموعه $X$ متناهی است یا نامتناهی یا اینکه فرقی نمیکند؟

ب)شرط 2و3 رو میشه با توصیخ بیان کنید !؟

پ) با توجه به این تعریف فضای توپولوژیک چیه ؟ چرا میگوییم زوج مرتب $(X,\tau )$?

معذرت که سوالاتم زیاد هستن . من کتاب جیمز و به صورت خود آموز میخونم و با استاد پیش نمیرم وواسه همین این سوالات واسم پیش میاد . خیلی ممنون.

Answer 1

گردایه همان مجموعه است ولی معمولا لفظ گردایه وقتی به کار میره که اعضای اون مجموعه خود مجموعه باشند. به عبارت دیگر گردایه مجموعه ای از مجموعه هاست. در اینجا $\tau$ مجموعه ای از زیر مجموعه های $X$ است. یا به عبارت دیگر زیرمجموعه ای از مجموعه ی توانی $X$ یعنی $P(X)$ است.

فرقی نمی کند که مجموعه $X$ متناهی باشد یا نامتناهی. اگر توجه کنید در تعریف چنین شرطی قرار داده نشده است.

منظور ازشرط 2 این است که چنانچه $\{U_i\}_{i\in I}$ گردایه ای دلخواه(یعنی چه تعداد متناهی چه نامتناهی چه شمارا و چه ناشمارا) از اعضای $\tau$ باشد یعنی $U_i\in \tau$ در اینصورت اجتماع آنها $\bigcup_{i\in I}U_i$ باز به $\tau$ متعلق باشد.

و شرط 3 یعنی اگر $U_1,U_2,...,U_n\in \tau$ در اینصورت $\bigcap_1^n U_i\in \tau$ . یعنی اشتراک تعداد متناهی از اعضای $\tau$ باز هم عضوی از $\tau$ باشد.

فضای توپولوژیک یعنی یک مجموعه $X$ و یک گردایه $\tau$ از زیر مجموعه های $X$ که در اون شرایط صدق کند. در اینصورت میگیم $(X,\tau)$ یک فضای توپولوژیک است. توجه کنید که نمیگیم زوج مرتب میگیم زوج $(X,\tau)$ .

Comments

دستتون درد نکنه!