هر مجموعهٔ ناتهیای که بردارید دقیقا یک توپولوژی روی آن وجود دارد که مجموعههای بستهٔ آن عباتاند از خودِ $X$ و زیرمجموعههای متناهیاش. برای نمونه اگر $X=\lbrace a,b,c\rbrace$ باشد، آنگاه گردایهٔ مجموعههای بستهٔ توپولوژیِ موردِ اشاره روی آن کلِ مجموعهٔ توانیاش میشود چون همهٔ زیرمجموعههایش متناهی هستند (پس در این حالت با توپولوژی گسسته یکسان است). اگر $X=\mathbb{N}$ باشد آنگاه گردایههای مجموعههای بستهاش، خودِ $\mathbb{N}$ و مجموعههای متناهی از عددهای طبیعی مانند $\lbrace 1,2,3\rbrace$ را شامل میشود ولی مجموعهٔ عددهای فرد با اینکه زیرمجموعهٔ $\mathbb{N}$ است را شامل نمیشود چون یک مجموعهٔ متناهی نیست.
توجه کنید که این توپولوژی همان توپولوژیِ متمم-متناهی است (مثال ۳ بخش ۲ فصل ۲ کتاب «توپولوژی، نخستین درس» نوشتهٔ جیمز ر. مانکرز»، ترجمهٔ «یحیی تابش، ابراهیم صالحی، جواد لآلی و نادر وکیل»، چاپ انتشارات نشر دانشگاهی، چاپ چهارم ۱۳۸۹).
اگر منظورتان از «باز-متناهی» این است که مجموعههای باز توپولوژی برابر با مجموعههای متناهی و خود $X$ باشد، آنگاه فقط در حالتِ متناهی بودنِ $X$ یک توپولوژی میشود که با همان توپولوژیِ بسته-متناهی و توپولوژیِ گسسته یکسان است. اما اگر $X$ نامتناهی باشد، پاسخ خیر است. چرا یک توپولوژی نمیشود؟ خیلی ساده به تعریف توپولوژی نگاه کنید، مگر نباید هر اجتماعِ دلخواهی از مجموعههای باز، مجموعهای باز بماند؟ اکنون یک عضو دلخواه از $X$ مانندِ $x_0$ بردارید (چون $X$ ناتهی است بنا به اصل انتخاب ممکن است). برای هر عضو از $X$ به غیر از $x_0$، مجموعهٔ تکعضویِ آن یک مجموعهٔ متناهی است پس بنا به تعریفِ جدیدِ شما باید یک مجموعهٔ باز باشد. اکنون اجتماع همهٔ این تکعضویها نیز اگر فرضِ شما که این یک توپولوژی است برقرار باشد، باید یک مجموعهٔ باز بماند. ولی این اجتماع چه میشود؟ میشود $X-\lbrace x_0\rbrace$. این مجموعه $X$ نیست چون $x_0$ را ندارد، متناهی نیز نیست چون $X$ نامتناهی است و حذف یک عضو از یک مجموعهٔ نامتناهی، عددِ اصلیِ آن (کاردینالش) را تغییر نمیدهد. پس در تعریفِ مجموعههای بازِ شما صادق نیست و این تناقض است. پس ثابت کردیم که گردایهٔ $X$ و زیرمجموعههای متناهیاش زمانی که $X$ نامتناهی است، نمیتواند به عنوان گردایهٔ مجموعههای بازِ یک توپولوژی باشد. پس توپولوژیِ «باز-متناهی» با تعریف یکسان با بسته-متناهی نداریم.
