به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
161 بازدید
در دانشگاه توسط VAH!!D
ویرایش شده توسط AmirHosein

در درس‌های جبر اثبات می‌کنند که اجتماع دلخواه از زیرگروهها و یا زیر فضاهای برداری تودرتوی افزایشی، زیرگروه یا زیرفضای برداری می‌شود.

این را می‌دانم که اجتماع دلخواه توپولوژی ها روی یک مجموعه الزاما یک توپولوژی روی آن مجموعه زمینه نمی‌شود. برایم پرسش شد که آیا اگر شرط تودورتوی افزایشی بودن را اضافه‌کنم (که از جبر ایده‌گرفته‌ام)، آیا مشکل حل می‌شود؟ یعنی اجتماعشان توپولوژی می‌شود؟

توسط AmirHosein
مرجع: طراحی‌شده یعنی چه؟ در قسمت مرجع اگر از کتابی یا مقاله‌ای پرسش را آورده‌اید یا پیرامون مطلبی در آن است، نام کتاب به همراه نام نویسنده یا نام مقاله به همراه نام نویسنده می‌آورند.
در ضمن عنوان پرسش را نامناسب نوشته‌اید. مقدمه‌ای نوشته‌اید از جبر ولی پرسش‌تان کاملا از مبحث توپولوژی است و حل آن نیز هیچ استفاده‌ای از جبر ندارد. بنابراین عنوان مناسب می‌تواند این باشد «آیا اجتماع توپولوٰی‌های تودرتو یک توپولوژی می‌شود؟».
توسط AmirHosein
پرسش را ویرایش کردم، با آنچه قبلا خودتان نوشته‌بودید مقایسه کنید. هم عنوان و متن پرسش و هم لحن نوشتاری (قشنگ نیست که به لحن دستوری پاسخ بخواهید و شرط برای پاسخ‌گو تعیین کنید که کامل باشد و چیزی را به عهدهٔ خواننده نگذارد و غیره).

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط AmirHosein

یک توپولوژی روی یک مجموعهٔ $X$ یک گردایه از زیرمجموعه‌های $X$ است که تهی و کل مجموعه را داشته‌باشد، نسبت به اشتراک متناهی و اجتماع دلخواه بسته باشد. با برداشتن یک زیرمجموعهٔ دلخواه از مجموعهٔ توانی $X$ و افزودن کمترین تعداد مجموعه‌هایی که برای توپولوژی شدن نیاز دارد (یا دقیق‌تر کوچکترین زیرمجموعه از مجموعهٔ توانی که توپولوژی شود و این مجموعه را دربرگیرد) یک توپولوژی داریم که به آن توپولوژی تولیدشده بوسلیهٔ مجموعهٔ داده‌شده می‌گوئیم.

اکنون قرار دهید $X=\mathbb{R}$. برای هر عدد طبیعی $n$ توپولوژی $\tau_n$ را $\langle \lbrace (0,\frac{1}{n}\mid 1\leq i\leq n\rbrace\rangle$ تعریف کنید، یعنی توپولوژی تولیدشده بوسیلهٔ بازه‌های گفته‌شده در مجموعهٔ داخل دو علامت $\langle\ldots\rangle$. اکنون مجموعهٔ $\tau$ را اجتماع این توپولوژی‌های تودرتوی افزایشی بگیرید. روشن است که برای هیچ عدد طبیعی $n$ای بازهٔ $(0,1)$ در $\tau_n$ قرار نمی‌گیرد. چون به شکل اشتراک متناهی و اجتماع دلخواه بازه‌های به شکل $(0,\frac{1}{i})$ با $i$ کراندار، نوشته نمی‌شود. چون در هیچ یک از مجموعه‌های اجتماع‌گرفته‌شده نیست، پس در اجتماعشان یعنی $\tau$ نیز نیست. اما از طرف دیگر هر $(0,\frac{1}{n})$ خودش عضو یکی از این توپولوژی‌هاست و در نتیجه در $\tau$ است. اگر $\tau$ بخواهد توپولوژی باشد باید اجتماع اینها یعنی $(0,1)$ نیز در $\tau$ باشد که نیست. پس $\tau$ توپولوژی نمی‌باشد.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...