کتاب مورد علاقهٔ خود من پیرامون نظریهٔ مجموعهها کتاب نظریهٔ مجموعه نوشتهٔ تومایس یِخ چاپ اشپرینگر است
Set Theory, Thomas Jech, Springer
همان چند صفحهٔ نخستین آن صفحههای ۳ تا ۱۶ برایتان کفایت میکند و برای این پرسشتان دو صفحهٔ ۳ و ۴ کامل است. البته که نظریهٔ مجموعهها دارای اصول موضوعی است و همانگونه که در آنجا میتوانید بخوانید ۸ اصل اول را با ZF و اگر اصل انتخاب را نیز بیفزائید که بیان میکند که از هر مجموعهٔ ناتهی میتوان عضوی انتخاب کرد، آنگاه به اختصار به این ۹ اصل ZFC گویند (c ابتدای choice به معنای انتخاب است). بیشترین طرفداران اصول موضوعهٔ بدون اصل انتخاب ریاضیدانان اسرائیلی هستند مانند عاصف کارگیلا و تلاش بسیاری دارند که اثباتهای زیادی را از نو بنویسند بدون اینکه از هر امری که به اصل انتخاب منتهی میشود استفاده کنند. من خودم از اصل انتخاب بسیار خوشم میآید و مشکلی با آن ندارم. این نوع درگیریهای کوچک خیلی به ندرت وجود دارد، برای نمونه شاید شنیده باشید که برخی ریاضیدانان برهان خلف را نمیپذیرند و میگویند باید اثبات را از نو نوشته و از فرض خلف استفاده نکرد که در خیلی از موارد به راحتی انجامشدنی است ولی ممکن است نوشتن آن کمی سخت گردد. از طرفی نیز گاهی نوشتن اثبات از روشی که یک اصل به هیچ وجه در آن استفاده نشود سرگرم کننده است و برای برخی اثباتی که از اصول کمتری استفاده کند با ارزشتر است. به یاد آورید که تا چندی پیش خیلیها اصل توازی اقلیدس را به عنوانی اصلی همواره برقرار میشمردند و بعدها پیدایش هندسههای نااقلیدسی مانند هندسهٔ هذلولوی و یا کروی باعث شد که متوجه شویم اصل توازی اقلیدس در تمامی فضاهای هندسی برقرار نیست و اثباتهای وابسته به آن محدود به فضاهای هندسی خاصی خواهند بود.
در مورد تعریف مجموعه واقعا تعریف استادارد نمیتوانید بدهید زیرا در هر صورت شما نیاز به یک سری واژهٔ پایه دارید که برای تعریف مفهومی از آنها استمداد بگیرید اگر هر واژه را بر اساس واژهٔ دیگری تعریف کنید در هر صورت در یک مجموعهٔ متناهی از واژه، یا به دور و تسلسل برمیخورید یا باید واژههای پایهٔ خودآمده برگزینید. من خودم مجموعه را اینگونه تعریف میکنم «مجموعه، گردایهای از اشیاء است» اما خود گردایه را چه تعریف میکنم؟ اگر صفحههای ۳ و ۴ را بخوانید پیرامون اِشکال تعریف مجموعه به شکل «یک مجموعه، گردایهای از اشیاء است که دارای یک ویژگی معینی باشند» بحث شده است.
