Question

اگر $x^{2}+x+1=0$ باشد، آنگاه $x^{234}+x^{99}$ چند می‌شود؟

ویرایشگر: پرسش‌کننده متن بیشتری وارد نکرده‌است.

Answer 1

توجه کنید که برای هر $i\in\mathbb{I}$ داریم: $$(x^2+x+1)(x^{6i+4}-x^{6i+3}+x^{6i+1}-x^{6i})=x^{6i+6}-x^{6i}$$ برای اثبات آن کافیست ضرب را انجام بدهید و ساده‌سازی کنید.

اکنون اگر جمع این ضرب برای اندیس‌های پشت‌سر هم را انجام دهید یک سری تلسکوپی دارید. محاسبات زیر را با ضرب و ساده‌سازی و استفاده از ویژگی تلسکوپی به سادگی می‌توانید بررسی کنید. $$\begin{array}{l}(x^2+x+1)(2\sum_{i=0}^{15}(x^{6i+4}-x^{6i+3}+x^{6i+1}-x^{6i}))=2(x^{96}-1)\\ (x^2+x+1)(\sum_{i=16}^{38}(x^{6i+4}-x^{6i+3}+x^{6i+1}-x^{6i}))=x^{234}-x^{96}\\ (x^2+x+1)(x^{97}-x^{96})=x^{99}-x^{96}\end{array}$$ جمع سه رابطهٔ بالا می‌شود: $$\begin{array}{l}(x^2+x+1)(2\sum_{i=0}^{15}(x^{6i+4}-x^{6i+3}+x^{6i+1}-x^{6i})+\sum_{i=16}^{38}(x^{6i+4}-x^{6i+3}+x^{6i+1}-x^{6i})+x^{97}-x^{96})=\\ x^{234}-x^{96}+2x^{96}-2+x^{99}-x^{96}=\\ x^{234}+x^{99}-2\end{array}$$ پس داریم؛ $$x^{234}+x^{99}=(x^2+x+1)p(x)+2$$ که $p(x)$ چندجمله‌ای حاصل از جمع سه عبارتی است که از بالا می‌توانید حدس بزنید. اکنون اگر $x^2+x+1$ مساوی صفر باشد حاصلضرب آن در چیز دیگری نیز صفر می‌شود و در نتیجه از سمت راست برابری پایانی تنها ۲ می‌ماند.

پاسخ ۲ است.

Answer 2

$$x^2+x+1=0$$

چون $x \neq 1$ می توان طرفین را در $(x-1)$ ضرب کرد : $$ \Rightarrow (x-1)(x^2+x+1)=0$$ $$x^3-1=0 $$ $$x^3=1$$ $$ \Rightarrow x^{234}+x^{99}=(x^3)^{78}+(x^3)^{33}=1^{78}+1^{33}=2$$