به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
Visanil
+1 امتیاز
783 بازدید
در دبیرستان توسط fernas (6 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

مجموعهٔ $A$ متشکل از اعداد صحیح، به گونه‌ای مفروض است که اگر $x$ عضو $A$ باشد، آنگاه حداقل یکی از اعداد صحیح $x^2$ یا $\sqrt{x}$ یا $-\sqrt{x}$ نیز باید عضو $A$ باشد. اگر بدانیم که مجموعهٔ $A$ دارای 119 عضوِ منفی و 273 عضوِ مجذورِ کامل است، آنگاه حداقل و حداکثر تعداد اعضایِ مثبتِ $A$ چقدر است؟

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط amir7788 (3,013 امتیاز)
ویرایش شده توسط amir7788

نشان می دهیم کمترین تعداد 392 می باشه. کافی است عضوهای A را به صورت زیر انتخاب کنیم که شامل 273 عدد مثبت مربع کامل

$$2^{2 ^1}, 2^{2 ^2} ,2^{2 ^3} ,...,2^{2 ^{273}} $$ بهمراه 119 عدد منفی زیر باشد

$$-2^{2 ^1}, - 2^{2 ^2} ,2^{2 ^3} ,...,-2^{2 ^{119}} $$ برای حداکثری: واضح است که برای هر عدد منفی مانند $-n$ در A باید مربع آن نیز وجود داشته باشه در نتیجه با انتخاب n از 1 تا 119 مجموعه A شامل 238 عضو می باشه که 119 آنها مثبت و مربع کامل می باشند. برای انتخاب 154 عدد مثبت مربع کامل دیگر می توان 154 جفت عدد مستقل از قبلی ها به صورت اعداد مثبت n طبیعی غیر مربع و به همراه مربع آنها را انتخاب کرد. مثلاn را می توان از 120 تا 278 به جزء اعداد مربع کامل 144، 169، 196، 225 و 256 انتخاب نمود. بنابراین

$$238+154*2 =546$$ یا

$$(256-5)*2=546 $$

آموزش جبر در مراحل اولیه باید شامل تعمیمی تدریجی از حساب باشد؛ به بیان دیگر، در اولین مرحله، باید جبر را به عنوان حساب جهانی در محکم ترین مفهوم تلقی کرد.
...