اگر $x\in A$ نتیجه دهد که حتما یکی از $x^2,\sqrt{x},-\sqrt{x}$ هم باید عضو باشد، آنگاه با دانستن تعداد عضوهای منفی و مجذورش چند عضو خواهد داشت؟

Question

مجموعهٔ $A$ متشکل از اعداد صحیح، به گونه‌ای مفروض است که اگر $x$ عضو $A$ باشد، آنگاه حداقل یکی از اعداد صحیح $x^2$ یا $\sqrt{x}$ یا $-\sqrt{x}$ نیز باید عضو $A$ باشد. اگر بدانیم که مجموعهٔ $A$ دارای 119 عضوِ منفی و 273 عضوِ مجذورِ کامل است، آنگاه حداقل و حداکثر تعداد اعضایِ مثبتِ $A$ چقدر است؟

Answer 1

نشان می دهیم کمترین تعداد 392 می باشه. کافی است عضوهای A را به صورت زیر انتخاب کنیم که شامل 273 عدد مثبت مربع کامل

$$2^{2 ^1}, 2^{2 ^2} ,2^{2 ^3} ,...,2^{2 ^{273}} $$ بهمراه 119 عدد منفی زیر باشد

$$-2^{2 ^1}, - 2^{2 ^2} ,2^{2 ^3} ,...,-2^{2 ^{119}} $$ برای حداکثری: واضح است که برای هر عدد منفی مانند $-n$ در A باید مربع آن نیز وجود داشته باشه در نتیجه با انتخاب n از 1 تا 119 مجموعه A شامل 238 عضو می باشه که 119 آنها مثبت و مربع کامل می باشند. برای انتخاب 154 عدد مثبت مربع کامل دیگر می توان 154 جفت عدد مستقل از قبلی ها به صورت اعداد مثبت n طبیعی غیر مربع و به همراه مربع آنها را انتخاب کرد. مثلاn را می توان از 120 تا 278 به جزء اعداد مربع کامل 144، 169، 196، 225 و 256 انتخاب نمود. بنابراین

$$238+154*2 =546$$ یا

$$(256-5)*2=546 $$