اگر $\alpha$ عددی گنگ باشد، کدامیک از $\frac{1}{2}\alpha+\alpha^2,\;\frac{\alpha+2}{\alpha-1},\;\alpha^3+1,\;(2\alpha+1)^2$ گنگ است؟

Question

سلام. این تست رو لطفا جواب بدید.و برای جواب های غلط مثال نقض بیارید.توی جزوه ام جواب گرینه 2.ولی هر چی سعی میکنم برا بقیش مثال نقض بیارم نمیتونم.لطفا کمک کنید.ممنون

اگر$\alpha$ گنگ باشد،کدام گزینه همواره گنگ است؟

1)$\frac{1}{2} \alpha + \alpha ^{2}$

2)$\frac{ \alpha + 2}{ \alpha - 1}$

3)$\alpha ^{3} + 1$

4)$(2 \alpha +1)^{2}$

Answer 1

برای گزینه 1 کافیه $\alpha = \sqrt{2}- \frac{1}{4}$ را در نظر بگیرید حاصل میشه

$$( \frac{ \sqrt{2} }{2}- \frac{1}{8})+(2- \frac{ \sqrt{2} }{2}+\frac{1}{16})=2-\frac{1}{16}$$ که گویا است.

نحوه ی بدست آمدن $\alpha = \sqrt{2}- \frac{1}{4}$:

اگر عبارت گزینه ی 1 را مربع کامل کنیم داریم:

$$\frac{ \alpha }{2} + \alpha ^{2}=( \alpha + \frac{1}{4}) ^{2} - \frac{1}{16}$$

حال کافیست کاری کنیم که $( \alpha + \frac{1}{4}) ^{2}$ گویا شود. و چون توان 2 دارد کافیست عبارت $\alpha + \frac{1}{4}$ به صورت $\sqrt{b}$ باشد تا زمانی که به توان می رسد عبارت برابر $b$ شود. برای راحتی کار از $b=2$ استفاده کردم.

برای گزینه 3: قرار دهید $\alpha = \sqrt[3]{2}$ آنگاه حاصل برابر است با $2+1=3$

برای گزینه ی 4 کافیه $2 \alpha +1$ را برابر $\sqrt{2}$ بگیریم تا زمانی که به توان می رسد گویا شود. یعنی باید قرار دهیم: $\alpha = \frac{ \sqrt{2} -1}{2}$

برای اثبات درست بودن گزینه ی دو داریم:

$$\frac{ \alpha +2}{ \alpha -1} =\frac{ \alpha -1+1+2}{ \alpha -1}=\frac{ \alpha -1}{ \alpha -1}+\frac{3}{ \alpha -1}=1+\frac{3}{ \alpha -1}$$ از آنجایی که $\alpha -1$ گنگ است لذا معکوس آن نیز گنگ است. و با ضرب و جمع شدن با عددی گویا باز گنگ می ماند.

Comments

erfanm@
بسیار ممنونم الان روش پیدا کردن مقال نقض رو هم یاد گرفتم متشکرم

---

خواهش میکنم موفق باشید.