برای گزینه 1 کافیه $ \alpha = \sqrt{2}- \frac{1}{4} $ را در نظر بگیرید حاصل میشه
$$( \frac{ \sqrt{2} }{2}- \frac{1}{8})+(2- \frac{ \sqrt{2} }{2}+\frac{1}{16})=2-\frac{1}{16}$$
که گویا است.
نحوه ی بدست آمدن $ \alpha = \sqrt{2}- \frac{1}{4} $:
اگر عبارت گزینه ی 1 را مربع کامل کنیم داریم:
$$ \frac{ \alpha }{2} + \alpha ^{2}=( \alpha + \frac{1}{4}) ^{2} - \frac{1}{16} $$
حال کافیست کاری کنیم که $( \alpha + \frac{1}{4}) ^{2}$ گویا شود. و چون توان 2 دارد کافیست عبارت $\alpha + \frac{1}{4}$ به صورت $ \sqrt{b} $ باشد تا زمانی که به توان می رسد عبارت برابر $ b $ شود.
برای راحتی کار از $ b=2$ استفاده کردم.
برای گزینه 3: قرار دهید $ \alpha = \sqrt[3]{2} $ آنگاه حاصل برابر است با $2+1=3$
برای گزینه ی 4 کافیه $2 \alpha +1$ را برابر $ \sqrt{2} $ بگیریم تا زمانی که به توان می رسد گویا شود. یعنی باید قرار دهیم: $ \alpha = \frac{ \sqrt{2} -1}{2} $
برای اثبات درست بودن گزینه ی دو داریم:
$$ \frac{ \alpha +2}{ \alpha -1} =\frac{ \alpha -1+1+2}{ \alpha -1}=\frac{ \alpha -1}{ \alpha -1}+\frac{3}{ \alpha -1}=1+\frac{3}{ \alpha -1}$$
از آنجایی که $ \alpha -1$ گنگ است لذا معکوس آن نیز گنگ است. و با ضرب و جمع شدن با عددی گویا باز گنگ می ماند.
