سه تا مثبت سه تا منفی

Question

با سلام جمله nام دنباله زیر را بیابید.

$\{1,1,1,-1,-1,-1,1,1,1,-1,-1,-1,...\}$

Answer 1

جمله عمومی دنباله فوق را می توان به صورت $ (-1)^{[ \frac{n-1}{3} ]} $ نوشت.

اثبات: نشان می دهیم که $m$امین شش جمله از دنباله فوق به صورت:

$$1,1,1,-1,-1,-1$$

به روش های مختلفی درستی این مطلب ثابت می شود ساده ترین آن ها که در حال حاضر به نظر بنده می رسد این است که فرض کنیم $n$ به یکی از صورت های $6k+1$ ، $6k+2$ یا $6k+3$ باشد با جایگذاری آن ها در رابطه $ (-1)^{[ \frac{n-1}{3} ]} $ داریم:

$$ (-1)^{[ \frac{6k+1-1}{3} ]}=(-1)^{2k}=1 $$ $$ (-1)^{[ \frac{6k+2-1}{3} ]}=(-1)^{2k}=1 $$ $$ (-1)^{[ \frac{6k+3-1}{3} ]}=(-1)^{2k}=1 $$

و اگر $n$ به صورت های $6k+4$ ، $6k+5$ یا $6k+6$ باشد با جایگذاری آن ها در رابطه $ (-1)^{[ \frac{n-1}{3} ]} $ به روش مشابه به دست می آید.

با همین روش می توانیم جمله عمومی دنباله های:

$$1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,...$$ $$1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,...$$ $$...$$

یا دنباله های متناوب وسیع تری را به دست آوریم.

نکته بسیار قابل توجهی در مورد این نوع دنباله ها وجود دارد. ضابطه ای جبری برای آن دسته از دنباله های دارای بیش از دو جمله متناوب وجود ندارد. این مطلب با قضیه اعداد اول در ارتباط است.

Comments

ببخشید ما جزع صحیح نخوندیم پس مجاز به استفاده نیستیم.

---

بله بازم روش فکر می کنم شما در نظر دارید جمله ی عمومی چه جوری باشه؟

---

تویmath stackexchangeگذاشتم یکی اینجوری کامنتگذاشت. اگه میشه تحلیلش کنید.
http://math.stackexchange.com/questions/1842260/three-negative-and-three-positive-1-s-in-a-serieupdated

---

اگر n>2 فرمولی جبری برای دنباله متناوب n تا 1+ ، n تا 1- وجود نداره و دنباله رو فقط می تونیم با یکی از توابع غیر جبری مثل جزء صحیح ، قدر مطلق یا توابع مثلثاتی بنویسیم.
حالا چون شما جزء صحیح نخوندید پس قدر مطلق و توابع مثلثاتی هم در این حد اطلاع ندارید چه برسه به تئوری همنهشتی که با جزئیات بیشتری بتونم تحلیل کنم.

---

ببخشید میشه اثبات کرد که به ازای n>2فرمول جبری براش وجود نداره؟اگه میشه چه جوری؟

در ضمن اگر فقط از قدر مطلق استفاده کنه مشکلی نداره ول توابع مثلثاتی نخوندیم.

---

اثبات عدم وجود فرمول جبری برای این دنباله ها رو بنده نه دیدم و نه شنیدم و تا حالا خودم نتونستم اثبات کنم ولی من حدس می زنم که فرمول جبری ندارده چون اگه فرض کنیم قاعده ای جبری در کار باشه اونوقت قضیه عددهای اول که یکی از مسائل حل نشده در تاریخ ریاضیاته به راحتی با توجه به اون فرمولی که شما به دنبالش هستی، حل می شه البته اگر قاعده ای جبری برای هر n طبیعی در این دنباله ها موجود باشه. پس بنده مطمئنم که در جبر مجرد اثبات عدم وجود فرمول امکان پذیره. این مسئله رو قبلاً در جایی دیدید یا خودتون طرحش کردید؟

اگه امکان داره شما بفرمایید که سوال رو کجا دیدید تا من متناسب با منبعتون جواب مناسب عرض کنم.

---

توی اموزشگاه معلممون گفته.

Answer 2

اگه دنباله های بازگشتی رو اطلاع داشته باشید می تونیم دنباله رو به صورت زیر بنویسیم:

$$ a_{n}=-a_{n-3}\,\,\,\,\,\,\,\, , \,\,\,\,\,\,\, a_{1}= a_{2}= a_{3}=1 $$

یا مثلا به صورت زیر:

$$ a_{n} =\begin{cases}1 & n \leq 3\\-a_{n-3} & n > 3\end{cases} $$

Comments

حل شد راه حلش با اعداد فیبوناچی هست.
$(-1)^{F_{n+1}+n}$

اگه فرمول اعداد فیبوناچی رو تو فرمول بذاریم جواب حاصل میشه.