فرض کنیم $x_n$ دنباله ای در اعداد حقیقی باشد که $\lim_{n\to \infty}x_n=\infty$
منظور از کرانداری یک دنباله این است که جملات آن در یک گوی بیفتند یا بطور متناظر $K\in\mathbb N$ موجود باشد که $|x_n|\leq K$ . پس برای اینکه ما ثابت کنیم این دنباله کراندار نیست کافی است نشان دهیم برای هر $K\in \mathbb N$ حداقل جمله ای از این دنباله مثل $x_n$ موجود است که $|x_n|> K$
اما برای هر $K\in\mathbb N$ بنا برتعریف $\lim_{n\to\infty}x_n=\infty$ عدد طبیعی $N$ موجود است به طوریکه
$$\forall n\geq N\implies x_n> K $$
پس نه تنها یک جمله که از جمله ای به بعد داریم $|x_n|> K$ که کراندار نبودن را نتیجه می دهد.
در مورد سوال دوم که باید بگم هر دنباله ای در اعداد حقیقی حد منحصر به فردی دارد و امکان ندارد به چند عدد همگرا باشد. همینطور در مورد هر دنباله ای در فضاهای متریک و هر دنباله در فضاهای توپولوژیک هاسدورف(در فضاهای توپولوژیک که هاسدورف نباشند، حد در صورت لزوم یکتا نیست)
با این وجود گزاره درست از قرار زیر است:
هر دنباله در $\mathbb R$ که همگرا باشد کراندار است.
(به جای اعداد حقیقی میتوانید فضای متریک بگذارید)
اثبات: فرض کنیم $x_n\to x$. میخواهیم ثابت کنیم دنباله کراندار است. یادآوری میکنم که ما به دنبال عددی مثبت مانند $K$ میگردیم که قدرمطلق تمام جملات از آن کوچکتر باشند یعنی $|x_n|\leq K$ .
چون $ \lim_{n\to \infty}x_n=x $ به ازای هر $\epsilon>0$ از جمله $\epsilon=1$ عدد طبیعی $N$ موجود است که
$$\forall n\geq N\implies |x_n-x|< 1$$
یعنی برای هر $n\geq N$ داریم: $|x_n|\leq |x|+1$
یعنی تمام جملات $x_N,x_{N+1}, x_{N+2},\cdots$ همگی از $|x|+1$ کوچکترند. پس فقط می ماند $x_1,x_2,\cdots ,x_{N-1}$ که نمیدانیم از $|x|+1$ کوچکترند یا نه. ولی می دانیم هرکدام از اینها از خودشان کوچکتر یا مساوی هستند پس چنانچه $K$ را هر عدد بزرگتر یا مساوی $\max\{|x|+1, |x_1|,|x_2|,\cdots , |x_{N-1}|\}$ در اینصورت برای هر $n$ داریم $|x_n|\leq K$ .
