فرض کنیم x_n دنباله ای در اعداد حقیقی باشد که \lim_{n\to \infty}x_n=\infty
منظور از کرانداری یک دنباله این است که جملات آن در یک گوی بیفتند یا بطور متناظر K\in\mathbb N موجود باشد که |x_n|\leq K . پس برای اینکه ما ثابت کنیم این دنباله کراندار نیست کافی است نشان دهیم برای هر K\in \mathbb N حداقل جمله ای از این دنباله مثل x_n موجود است که |x_n|> K
اما برای هر K\in\mathbb N بنا برتعریف \lim_{n\to\infty}x_n=\infty عدد طبیعی N موجود است به طوریکه
\forall n\geq N\implies x_n> K
پس نه تنها یک جمله که از جمله ای به بعد داریم |x_n|> K که کراندار نبودن را نتیجه می دهد.
در مورد سوال دوم که باید بگم هر دنباله ای در اعداد حقیقی حد منحصر به فردی دارد و امکان ندارد به چند عدد همگرا باشد. همینطور در مورد هر دنباله ای در فضاهای متریک و هر دنباله در فضاهای توپولوژیک هاسدورف(در فضاهای توپولوژیک که هاسدورف نباشند، حد در صورت لزوم یکتا نیست)
با این وجود گزاره درست از قرار زیر است:
هر دنباله در \mathbb R که همگرا باشد کراندار است.
(به جای اعداد حقیقی میتوانید فضای متریک بگذارید)
اثبات: فرض کنیم x_n\to x. میخواهیم ثابت کنیم دنباله کراندار است. یادآوری میکنم که ما به دنبال عددی مثبت مانند K میگردیم که قدرمطلق تمام جملات از آن کوچکتر باشند یعنی |x_n|\leq K .
چون \lim_{n\to \infty}x_n=x به ازای هر \epsilon>0 از جمله \epsilon=1 عدد طبیعی N موجود است که
\forall n\geq N\implies |x_n-x|< 1
یعنی برای هر
n\geq N داریم:
|x_n|\leq |x|+1
یعنی تمام جملات x_N,x_{N+1}, x_{N+2},\cdots همگی از |x|+1 کوچکترند. پس فقط می ماند x_1,x_2,\cdots ,x_{N-1} که نمیدانیم از |x|+1 کوچکترند یا نه. ولی می دانیم هرکدام از اینها از خودشان کوچکتر یا مساوی هستند پس چنانچه K را هر عدد بزرگتر یا مساوی \max\{|x|+1, |x_1|,|x_2|,\cdots , |x_{N-1}|\} در اینصورت برای هر n داریم |x_n|\leq K .
