به توان رساندن اعداد منفی و نقض خوش تعریفی

Question

با سلام خدمت دوستان

ما میدونیم که هر عدد منفی به توان گویا تعریف نشده است، چون خوش تعریف نیست.

حالا سوالی که پیش میاد اینه که اعداد منفی به توان های صحیح هم خوش تعریف نیستند . مثلا برای $(-1)^3$ میدونیم اگر جای توان $3$ قرار دهیم $\frac{12}{4}$ مقدار مثبت به ما میدهد . علاوه بر آن هر عدد صحیح خودش هم گویاست .پس چرا $(-1)^3$ تعریف می شود؟

Comments

رجوع کنید به لینک زیر  :
http://math.irancircle.com/blog/119/توان-و-اصل-موضوعه?show=119#b119

---

saderi7@  خب من میخام بدونم در کتاب سال دوم دبیرستان که اعداد منفی به توان گویا میرسند رو تعریف نشده گفته که کاملا هم درست است و علتش رو هم همه ما میدونیم چون اصل خوش تعریفی زیر سوال میره . ولی چرا اعدا منفی به توان صحیح  مثلا (1-) به توان 3 رو تعریف نشده ذکر نکرده . چون این هم خوش تعریف نیست و در توابع نمایی اعداد منفی رو به همین دلیل در نظر نمیگیرن . حال ممکنه شما بگید که علت تعریف نشدن اعداد منفی به توان گویا اینه که خاصیت ضرب توان ها در ان صدق نمیکند و ربطی به تابع بودن نداره  در این صورت در توابع نمایی هم باید اعداد منفی به توان های صحیح تعریف بشن .

---

@ Mohii
لینکی که گذاشتم رو نگاه انداختید ؟!!!!!
شاید در اون کتاب اعداد گویا رو تعریف نکرده ولی لزوما این نیست که نمیتوان تعریف کرد !!!
تو اون لینک اعداد منفی به توان گویا تعریف شده و گفته شده قوانین توان در چه موقع قابل قبول هستند . همین منفی یک  به توان $\dfrac{12}{4}$ یا به توان سه . هر جفتشون یکی هستند و تعریف شده هستند . اما منفی یک  به توان $\dfrac{12}{4}$  رو مجاز نیستیم باز کنیم و از قوانین ضرب توان ها استفاده کنیم . به لینک مراجعه کنید جوابتونو میگیرید .

---

saderi@ بله خوندم . شما دقیقا همون دلیل دوم رو اوردید که فرمودید هردو تعریف میشن اما چون قانون ضرب توان ها رو نمیشه اعمال کرد مجاز نیستیم . منم دقیقا همین رو میگم . ولی چرا پس در توابع نمایی کلا اعداد منفی رو در نظر نمیگیره چون خوش تعریف نمیشه . که دقیقا یه پارادوکس میشه اگر قراره قوانین توان اجرا بشه پس برای اعداد منفی به توان های صحیح هیچ مشکلی به وجود نخواهد امد

---

منظور از توان گویا ، توان گویای نا صحیح است

Answer 1

وقتی $a=0$ و $x>0$ تعریف می‌کنیم $ a^{x}=0 $ اما وقتی که $a=x=0$ عبارت $a^{x}$ تعریف نشده در نظر میگیریم دلیلش در حساب دیفرانسیل و انتگرال مشخص میشه اما برای دانش آموزان میشه این طور استدلال کرد که چون برای هر عدد مثبت $x$ داریم $ 0^{x}=0 $ اما $ x^{0}=1 $ پس اگه $ 0^{0} $ تعریف شده باشه به تناقض می‌رسیم. وقتی $a>0$ که احتمالا در تعریف توان‌ها نباید مشکلی داشته باشین. بنابراین حالت $a< 0$ رو در نظر می‌گیریم. در این حالت تنها در بعضی از اوقات $ a^{x} $ رو می‌تونیم تعریف کنیم. اگه $x$ یک عدد صحیح باشه $ a^{x} $ همیشه یک عدد حقیقیه. وقتی $x$ یک عدد گویاست حقیقی بودن $ a^{x} $ بستگی به مخرج $x$ داره. به طور خاص اگه $x= \frac{p}{q} $ که $p,q$ عامل مشترکی ندارند تعریف می‌کنیم $ a^{ \frac{p}{q} } =\begin{cases} \sqrt[q]{ a^{p} }= ( \sqrt[q]{a})^{p} & if (q) is odd\\undefined & if (q) is even \end{cases} $

به عنوان مثال $ (-8)^{ \frac{2}{3} } = ( \sqrt[3]{-8} )^{2}= (-2)^{2} =4 $ اما $ (-8)^{ \frac{3}{2} } $ به عنوان یک عدد حقیقی تعریف نمیشه چرا که باید از یک عدد منفی ریشه دوم گرفته بشه که میدونیم این کار شدنی نیست. بنابراین توانی که به صورت کسر باشد نباید عامل مشترک داشته باشد پس $ \frac{12}{4} $ رو باید $3$ در نظر بگیرید.

Comments

نظرتون کاملا درسته و منطقی.

Answer 2

به نظر میرسه اگر همواره به تعریف ها رجوع کنیم به مشکلی برنخواهیم خورد. در ادامه من در اعداد حقیقی بحث خواهم کرد. چون بحث در اعداد مختلط واضح است.

می دانیم که توان صحیح هموارده قابل تعریف است. به عنوان مثال منظور از $(-1)^3$ همان $(-1)\times (-1)\times (-1)$ خواهد بود.

اما توان گویای غیر صحیح به صورت $a^{\frac mn}$ فقط برای اعداد مثبت به صورت $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$ قابل تعریف است.

در این حالت شما باید توجه کنید که این تعریف برای اعداد گویای غیر صحیح است نه برای اعداد گویا به طور کلی. لذا شما حق ندارید که توان $\frac{12}4$ را با استفاده از تعریف فوق تعریف کنید. بلکه $\frac{12}4$ یک عدد صحیح بوده و باید با آن مثل توان $3$ رفتار شود.

شما گفتید "خود $3$ هم گویاست"! و این همان تفکر اشتیاه است. چرا که ما گفتیم برای پایه منفی ، توان گویای غیرصحیح تعریف نمی شود.

Comments

و اما آیا دلیل واضحی نیز دارد؟