زمانی که یک نگاشت تعریف میکنید (توجه کنید که میگویم نگاشت نه تابع! تابعها نگاشت هستند ولی نگاشتها الزاما تابع نیستند)، یک دامنه و یک همدامنه برای آن نیز مشخص کردهاید. یک نگاشت یک رابطه است و یک رابطه یک زیرمجموعه از حاصلضرب دکارتی دامنه در همدامنه است. وقتی میگوئید $y$ تصویر $x$ تحت نگاشت $f$ است، در واقع دارید میگویید $x$ عضوی از دامنه و $y$ عضوی از همدامنه است که تحت این نگاشت با هم در رابطه قرار گرفتهاند. دقیقتر، اگر دامنهتان $A$ و همدامنهتان $B$ باشد آنگاه $f$ مربوط به یک زیرمجموعه از $A\times B$ است که $(x,y)$ عضو آن مجموعه است.
اکنون یک نگاشت که در دو شرط زیر صدق کند را تابع میگویند؛
- روی تمام اعضای دامنه تعریف شده باشد. یعنی به ازای هر $x\in A$ یک زوج مرتب یا درایهٔ یکمِ $x$ در مجموعهٔ متناظر داشته باشیم.
- به هر عضو از دامنه تنها یک عنصر از همدامنه را تصویر کند. یعنی به ازای هر $x\in A$ تنها یک زوج مرتب با درایهٔ یکمِ $x$ در آن مجموعه داشته باشیم.
خیلی از مدرسین این اشتباه را دارند که «خوشتعریف بودن یک نگاشت» را با «تابع بودن یک نگاشت» یکی معرفی میکنند که کاملا اشتباه است، اما متأسفانه در برخی جاها مرسوم شدهاست.
خوشتعریف بودن یک نگاشت چیزی جز نگاشت بودنش نیست. یعنی شما باید ثابت کنید که به ازای هر عضو دامنه، تصویری که معرفی میکنید واقعا عضو همدامنه است! به عبارت دیگر، واقعا زیرمجموعهای از $A\times B$ دارید.
معمولا در دروس مقدماتی مانند جبر یک، خوشتعریف بودن عملهای جمع و ضرب ساختارها را از دانشجو میخواهند، که دلیل آن مطمئن شدن از این است که دانشجو عملها را خوب شناختهاست. به غیر از آن، در مقالهها و کارهای تحقیقاتی، زمانی که برای اولین بار عمل یا نگاشت یا تابعی را معرفی میکنید که بدیهی نیستند، باید خوشتعریف بودن آن را نشان دهید. گاهی ضابطههایی که مینویسید واقعا بدیهی نیست که حاصلشان در مجموعهای که به عنوان همدامنه معرفی کردید قرار میگیرند. یا نمونهٔ دیگری که نیاز به اثبات و نشان دادن خوشتعریفی دارید زمانی است که زیرمجموعهای از یک گروه یا ساختاری را به عنوان زیرگروه یا زیرساختار برمیدارید. باید مطمئن باشید که نسبت به آن عمل بسته است که چیزی جز نشان دادن خوشتعریف بودن تحدید عمل یا اعمال اصلی به این زیرمجموعه نمیباشد.
