اگر $x(1+y)+y(1+z)+z(1+x)=6 \sqrt{xyz} $باشد ، ثابت کنید$ xyz=1$.

Question

اگر $ x(1+y)+ y(1+z) + z (1+x) = 6 \sqrt{xyz} $ ثابت کنید $xyz=1$ ( $xو y و z $ اعداد حقیقی مثبتند.)

Comments

اصلا عنوان سوال رو متوجه نمیشم منظورتون چی هست! لطفا ویرایشش کنید.

Answer 1

راهنمایی:

برای اعداد حقیقی مثبت $x_1,...,x_n$ نامساوی بین میانگین حسابی و هندسی به صورت $$\sqrt[n]{x_1...x_n}\leq \frac{x_1+...+x_n}n$$ است و تساوی هنگامی روی می دهد که $x_1=...=x_n$ .

حال از نامساوی فوق برای $x,y,z,xy,xz,yz$ استفاده کنید.

Comments

سلام
1- میشه کمی واضح تر بگین چون سوال xyz=1 را می خواهد
2- در واقع راهنمایی طراح سوال در این مسئله این بوده که عبارت داده شده را به صورت مجموع سه مربع کامل متحد با صفر تبدیل کنید.(متن خود سواله)

Answer 2

از عبارت بالا نتیجه میشود :

$xz+y-2 \sqrt{xyz}+zy+x-2 \sqrt{xyz}+xy+z-2 \sqrt{xyz}=0 $

$( \sqrt{xz} - \sqrt{y} )^2+( \sqrt{zy} - \sqrt{x} )^2+( \sqrt{xy} - \sqrt{z} )^2=0$

حال میتوان نتیجه گرفت :

$( \sqrt{xz} - \sqrt{y} )^2=0$

$\sqrt{xz} - \sqrt{y}=0 $

$ \sqrt{xz} = \sqrt{y} $

2 طرف تساوی به توان 2 :

$xz=y$

به همین صورت عبارات زیر را نتیجه گرفته :

$xy=z$

$yz=x$

حال هر 3 را در هم ضرب میکنیم :

$x^2y^2z^2=xyz$

ادامه کار دیگر معلوم است .