قائم الزاویه به وسیله دنباله هندسی

Question

سلام ... ممنون میشم جواب بدین

طول های اضلاع یک مثلث قائم الزاویه که طول کوچکترین ضلع یک میباشد تشکیل یک دنباله هندسی میدهند. طول وتر را بدست آورید

ممنون میشم که زودی جواب بدین

Answer 1

فرض کنیم $x$ وتر باشد. می دانیم در مثلث قایم الزاویه بزرگترین ضلع همان وتر است. کوچکترین ضلع بنابر فرض $1$ است چنانچه ضلع دیگر را $y$ بنامیم در اینصورت $1\leq y\leq x$ اما چون این سه تشکیل دنباله هندسی می دهند پس $y^2=1\times x=x$.

از طرفی بنابر قضیه فیثاغورث داریم $x^2=y^2+1^2=x+1$

پس کافی است معادله $x^2-x-1=0$ را حل کنید که به دست می آید $$x_1,x_2=\frac{1\pm\sqrt{5}}2$$ که چون وتر طول هست باید مثبت باشد لذا $x=\frac{1+\sqrt 5}2$

Comments

خیلی عالی ممنون ...

Answer 2

از رابطه ی فیثاغورث استفاده می کنیم.

$1+a^2=a^4$

به جای $a^2$,$x$قرار می دهیم.

$x^2-x-1=0$

ریشه های این معادله برابرند با $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$و$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.

ریشه ی دوم منفی است و قدر مطلق ان کمتر از یک است پس به هر توان طبیعی که برسد کمتر از ۱ است که خلاف فرض مسعله است پس $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$a^2=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2$

$a^4=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^4$

Comments

ممنونم ........ خیلی عالی بود