اگر در یک ذوزنقه قائم الزاویه قطرها برهم عمود باشند آن گاه ارتفاع ذوزنقه واسطه هندسی بین دو قاعده است

Question

ثابت کنید اگر در یک ذوزنقه قائم الزاویه قطرها برهم عمود باشند آن گاه ارتفاع ذوزنقه واسطه هندسی بین دو قاعده است.

خب طبیعتا کاری که باید انجام داد و من هم کردم استفاده از تشابه است که خب وقتی نوشتم در واقع به چیز خاصی نرسیدم

Answer 1

باتوجه به اینکه مثلث $S_3$ با مثلث $S_2$ متشابه است پس:

$$ \color{red}{\frac{AD}{DC}}=\frac{AE}{DE} $$

و همچنین باتوجه به اینکه مثلث $S_1$ با مثلث $S_2$ متشابه است پس:

$$ \color{red}{\frac{AB}{AD}}=\frac{AE}{DE} $$

باتوجه به تساویهای فوق درنتیجه:

$$\color{red}{ \frac{AB}{AD}=\frac{AD}{DC} \Rightarrow \color{green}{AD^{2}=AB \times DC} } $$

توجه اینکه $AD$ ارتفاع ذوزنقه است

Comments

@good4us
میشه اثبات تشابه مثلثات رو هم بزارید

---

Sarinakh@ در مثلث $s3$ زاویه D1$$ با زاویه D2$$ در مثلث $s2$ متممند. همچنین زاویه D1$$ با زاویه C1$$ در مثلث $s3$ متمنند به این ترتیب زاویه D2$$ با زاویه C1$$ مساویند وبا توجه داشتن دو زاویه قائمه  در این دو مثلث آنها به حالت داشتن دو زاویه مساوی متشابهند . مثلث $s2$ و مثلث $s1$ نیز به طریقی مشابه باهم متشابه خواهند بود

Answer 2

مقادیر AE و EC فقط بر اساس x و y قابل محاسبه هستند. این گزاره با استفاده از معادله زیر ثابت می شود:

$ \sqrt{y^{2}-DE^{2}}+\sqrt{x^{2}-DE^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}} $

با محاسبه DE در فرمول معادله بالا AE و EC به صورت $ \sqrt{AE^{2}-DE^{2}}=AE $ و $ \sqrt{DC^{2}-DE^{2}}=EC $ محاسبه می شوند.

مقدار BE نیز با استفاده از تشابه دو مثلث DEC و AEB محاسبه می شود. در نتیجه مقدار BC نیز محاسبه می شود. ($ BC=\sqrt{EC^{2}+EB^{2}} $) در نتیجه مقدار FB نیز محاسبه می شود. ($ FB=\sqrt{BC^{2}-y^{2}} $) این بدین معنی است که FB فقط بر اساس x و y محاسبه شده است.

مسئله خواسته است ثابت کنیم $ y^{2}=x(x+z) \Rightarrow z=\frac{y^{2}-x^{2}}{x} $. کافیست مقداری که محاسبه کردیم را با عبارت $ \frac{y^{2}-x^{2}}{x} $ مقایسه کنیم.