میدانیم اگر برای نقاط $ x_{n} , ..., x_{1} , x_{0} $ از درونیابی لاگرانژ استفاده کنیم ضرایب بصورت $ L_{i} (x) $ ها هستند که برای هر $i \neq j $ در شرایط زیر صدق میکنند.
$$ \begin{cases} L_{i} (x_{j})=0 & \\L_{i} (x_{i})=1 & \end{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)\ $$
حال فرض کنیم یک ترکیب خطی از این ضرایب برابر صفر شود مثلا $$ \sum_{i=0}^n b_{i} L_{i} (x)=0 $$
پس برای هر $ x $ رابطه برقرار است هربار که بجای $ x$ مقدار $ x_{j} $ راقرار دهیم و از رابطه ی $(1) $ استفاده کنیم داریم:
$$0= \sum_{i=0}^n b_{i} L_{i} (x)=0+..+ b_{j} L_{j} (x_{j})+0+..+0 =b_{j} $$
پس تک تک ضرایب باید صفر باشند و مستقل خطی بودن ثابت میشود.
