تعداد رقم های حاصل $n!$ را چگونه محاسبه کنیم؟ همینطور تعداد صفرهای سمت راست $n!$.

Question

لطفا به دو سوال زیر پاسخ دهید:

1. آیا تعداد صفر در سمت راست $n!$ برابر است با تعداد مضارب طبیعی عدد $5$ از یک تا $n!$؟
2. چگونه می‌توان تعداد ارقام حاصل $n!$ را پیدا کرد؟

Comments

در مورد سوال دوم فکر نکنم راه خاصی باشه مگه اینکه مورد ویژه ای باشه .

---

@behruz در یک پست، یک پرسش بپرسید.

Answer 1

در مورد سوال دومتون باید بگم فرمولی هست ولی کاربردی نیست. من هم اینو از یه کتاب المپیاد خوندم و اگه خواستین اثباتشو می‌گذارم:

$[\bigl(\log(2\pi n)/2+n(\log n-\log e)\bigr)/\log 10]+1$

که برابر تعداد ارقام $n!$هست. در مورد سوال اولتونم بگم که از رابطه‌ای برای پیدا کردن عوامل ۵ در $n!$ استفاده می‌کنیم که برابر است با:

$\lfloor{\frac{n}{5}}\rfloor+\lfloor{\frac{n}{25}}\rfloor+\dots$

Answer 2

برای پیدا کردن تعداد صفر های سمت راست باید تعداد عامل های 5 که توش هستو پیدا کنی به این دلیل که هر 5 با یک 2 عدد 10 رو میسازه و همیشه تعداد 5 ها از 2 ها کمتره . برای پیدا کردن تعداد عامل های 5 در $x!$ باید عدد $x$ رو به صورت متوالی بر 5 تقسیم کنیم و خارج قسمت هارو جمع کنیم مثلا $125!$ :

125/5$=$25

25/5$=$5

5/5$=$1

25+5+1 =31 پس 31 صفر سمت راست $125!$ است .

Comments

تعداد 2 ها از 5 ها بیش تر است .

---

ببخشید. درستش کردم