تعداد صفر های سمت راست حاصل $58!\times 73!$ را بیابید.

Question

چگونه تعداد صفرهای سمت راست یک محاسبهٔ ضرب‌دار را حساب می‌کنند؟ برای نمونه عددی که حاصل $58!\times 73!$ است در سمت راست خود چند صفر دارد؟

Comments

برای پیدا کردن تنها لازمه تعداد عامل های اول ۲ و ۵ رو پیدا کنین. نحوه بدست آوردن یه عامل تو فاکتوریل هم میتونید در صفحه زیر ببینید:
https://en.wikipedia.org/wiki/De_Polignac%27s_formula

Answer 1

سلام من صرفا جواب اصلی رو میگم که با پایتون بدست آوردم

digits = str(math.factorial(58)*math.factorial(73));
print(len(digits) - len(digits.rstrip('0')))

 29

Comments

خب جوابتون درست اما منتظر جواب ساده تری بودم. اگه میتونین کمی ساده تر و جم و جور تر کاملش کنین

---

@(Mahdi( Help^AnAr این پاسخ سخت نیست. در واقع کاری که @asys کردند این است که حاصلضرب دو فاکتوریل داده‌شده را (ماشین‌حسابی) حساب کردند، عدد داده‌شده را مانند یک واژه (دقیق‌تر بگوئیم رشته) در نظر گرفتند و تعداد حرف‌هایش که همان رقم‌ها هستند را شمرده‌اند.

Answer 2

عدد $58!$ داری ۱۱ عامل ۵ و ۲ تا ۲۵ است، پس ۱۳ صفر دارد. همینطور $78!$ دارای ۱۳ عامل ۵ و ۲ تا عامل ۲۵ است، پس ۱۶ تا صفر دارد. پس کلا ۲۹ صفر دارید.

Answer 3

تعداد صفرهای سمت راست عدد $n!$ برابر است با:

$$[\frac{n}{5}]+[\frac{n}{5^2}]+[\frac{n}{5^3}]+\cdots$$

که نشان میدهد $38!$، ۱۳ صفر و $73!$، ۱۶ صفر به دنبال دارد که در مجموع این عدد $13+16$ یعنی ۲۹ صفر به دنبال دارد.

Answer 4

وقتی تمام اعداد را از $1$ تا $n$ بر اعداد اول تجزیه کنیم و بعد آنها را بهم ضرب کنیم تا $n!$ را بدست آوریم تعداد عامل های $2$ بیشتر از عامل های $5$ میباشد

اگر از تمام اعدادی که مضرب $5$ میباشند یک عامل $5$ بهمراه یک $2$ جدا کنیم در واقع یک صفر استخراج کرده ایم حال بعد از این مرحله هیچ کدام از اعداد بر $5$ بخشپذیر نمیباشند و نمیتوانند صفر یا مضرب $10$ بسازند، مگر اعدادی که بر $5^2$ بخشپذیر باشندکه یک عامل $5$ دیگر جا مانده که مضرب $10$ ساز هستند ؛پس آنها را هم بهمراه یک $2$ استخراج کرده و همین کار را تا $5^m$ ادامه میدهیم

بشرطی که:

$$5^m \leq n < 5^{m+1}$$

حال تعداد صفرهای $n!$ برابر تعداد $5$ های استخراج شده بهراه $2$ خواهد بود

و جواب برابر $29$ میباشد.