به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
71 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط

جواب های دستگاه $\begin{cases}x+3y=4y^3 \ , y+3z=4z^3\ , z+3x=4x^3 \end{cases}$ را بیابید .

راهنمایی : ابتدا نشان دهید$ -1 \leq x,y,z \leq 1 $ سپس 3 معادله را جمع کنید و از آن نتیجه بگیرید که همه ی جواب ها عبارت اند از :

$(1,1,1) " (0,0,0) " (-1,-1,-1)$

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

ثابت می کنیم باید x=y=z باشد. $z=4 x^{3} -3x,y=4 z^{3} -3z,x=4 y^{3} -3y$ قرار می دهیم $f(x)=4 x^{3} -3x$ بنابراین داریم

$z=f(x),y=f(z),x=f(y)$

تابع f(x) در بازه $(- \frac{1}{2} , \frac{1}{2} )$ نزولی است یعنی اگر

$x>y>z$ آن گاه $ x=f(y)<f(z)=y $<math> و این تناقض است.به همین ترتیب هر ترکیب دیگری از متغیرها به صورت نامساوی به تناقض منجر می شود. اگر <math>$x \geq \frac{1}{2} $یا $x \leq \frac{-1}{2} $ آن گاه تابع صعودی است.یعنی اگر $x>y>z$ آن گاه $f(x)=z>f(z)=y$ که تناقض است.هر ترکیب دیگر به همین ترتیب به تناقض منجر می شود.حتی اگر حالت هایی مثل $x>y=z$ و ... را درنظر بگیریم به تناقض می رسیم.پس ناچارا x=y=z بنابراین

$ x^{3} -x=0$ و در نتیجه $x=y=z=0,+1,-1$

دارای دیدگاه توسط
مرسي از پاسخ ولي نياز بود كه بفهميم در چه بازه اي صعودي يا نزوليه ؟ نميشد به طور كلي گفت در بازه اي كه صعوديه  ...  و در بازه اي كه نزوليه .... ؟
دارای دیدگاه توسط
بله باید معلوم می شد در چه بازه ای صعودی یا نزولیه.

الان به طور کلی گفته شده.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...