به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
79 بازدید
در دبیرستان توسط A Math L

جواب های دستگاه $\begin{cases}x+3y=4y^3 \ , y+3z=4z^3\ , z+3x=4x^3 \end{cases}$ را بیابید .

راهنمایی : ابتدا نشان دهید$ -1 \leq x,y,z \leq 1 $ سپس 3 معادله را جمع کنید و از آن نتیجه بگیرید که همه ی جواب ها عبارت اند از :

$(1,1,1) " (0,0,0) " (-1,-1,-1)$

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط kazomano
ویرایش شده توسط kazomano

ثابت می کنیم باید x=y=z باشد. $z=4 x^{3} -3x,y=4 z^{3} -3z,x=4 y^{3} -3y$ قرار می دهیم $f(x)=4 x^{3} -3x$ بنابراین داریم

$z=f(x),y=f(z),x=f(y)$

تابع f(x) در بازه $(- \frac{1}{2} , \frac{1}{2} )$ نزولی است یعنی اگر

$x>y>z$ آن گاه $ x=f(y)<f(z)=y $<math> و این تناقض است.به همین ترتیب هر ترکیب دیگری از متغیرها به صورت نامساوی به تناقض منجر می شود. اگر <math>$x \geq \frac{1}{2} $یا $x \leq \frac{-1}{2} $ آن گاه تابع صعودی است.یعنی اگر $x>y>z$ آن گاه $f(x)=z>f(z)=y$ که تناقض است.هر ترکیب دیگر به همین ترتیب به تناقض منجر می شود.حتی اگر حالت هایی مثل $x>y=z$ و ... را درنظر بگیریم به تناقض می رسیم.پس ناچارا x=y=z بنابراین

$ x^{3} -x=0$ و در نتیجه $x=y=z=0,+1,-1$

توسط A Math L
مرسي از پاسخ ولي نياز بود كه بفهميم در چه بازه اي صعودي يا نزوليه ؟ نميشد به طور كلي گفت در بازه اي كه صعوديه  ...  و در بازه اي كه نزوليه .... ؟
توسط kazomano
بله باید معلوم می شد در چه بازه ای صعودی یا نزولیه.

الان به طور کلی گفته شده.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...