در دنباله های تقریبا مجزا داریم:$ \mu \big( \bigcup_1^\infty A_{n} \big) = \sum_1^\infty \mu \big( A_{n} \big) $

Question

اگر $ \big\{A_{n}\big\}_{n=1}^\infty $ دنباله تقریبا مجزا باشد یعنی $$ \mu(A_n\cap A_m)=0 \quad\forall n\neq m$$ در اینصورت نشان دهید:

$$ \mu \big( \bigcup_1^\infty A_{n} \big) = \sum_1^\infty \mu \big( A_{n} \big) $$

Comments

پس شما منظورتون اینه که $(X,M,\mu)$یک فضای اندازه است. و $\{A_n\}$ یک دنباله از اعضای $M$ است که $A_m\cap A_n=\emptyset$ برای هر $m$ و $n$؟
خوب اگه اینجوری باشه اینکه تعریف اندازه است. چرا کامل سوالتونو توضیح نمیدید؟

---

با سلام این شما فرمودید زمانی درست است که خود دنباله ها مجزا باشند اما در اینجا صحبتی از مجزا بودن خود مجموعه ها نکرده بلکه بیان کرده اگر  اندازه اشتراک بین آنها صفر است چطور نتیجه بگیریم حکم را؟

---

شما چون نوشته بودید $=\emptyset$ به جای $=0$ من اینجوری فکر کردم.
سوالتونو ویرایش کردم.

---

$\mu  \big( \bigcup_1^\infty  A_{n} \big) =  \sum_1^\infty  \mu  \big( A_{n} \big)$یعنی این رابطه را برای مجموعه های مجزا داریم؟ اگر ممکنه توضیح بدید.ممنون

---

از چه کسی این پرسش رو دارید؟
باید با نوشتنusername@  ایشون را با خبر کنید.

Answer 1

کافیه که دنباله $ \{A_n\}$ را با یک دنباله از مجموعه های مجزا تعویض کنید. به اینصورت که قرار دهید: $$\begin{align} F_1&=A_1\\ F_2&=A_2\setminus A_1\\ F_3&=A_3\setminus (A_1\cup A_2)\\ .\\ .\\ .\\ F_n&=A_n\setminus(\cup_1^{n-1}A_i)\\ .\\ .\\ \end{align}$$ در اینصورت بنابر فرض تقریبا مجزا بودن داریم: $$\require{cancel} \begin{align} &\mu(A_1)=\mu(F_1)\\ &\mu(A_2)=\mu(A_2\setminus A_1)+\cancelto 0{\mu(A_2\cap A_1)}=\mu(F_2) \\ .\\ .\\ &\mu(A_n)=\mu(F_n) \end{align}$$ و چون $\bigcup F_n=\bigcup A_n $ لذا داریم: $$ \begin{align} \mu(\bigcup A_n)&=\mu(\bigcup F_n)\\ &=\sum\mu(F_n)\\ &=\sum\mu(A_n) \end{align}$$