گردایهٔ زیرمجموعه های شمارا یا متمم شمارا چه زمانی یک سیگما جبر است؟

Question

تحت چه شرطی گردایهٔ مجموعه‌های شمارا یا متمم‌شمارا یک سیگما جبر تشکیل می‌دهد؟

ویرایشگر: پرسش‌کننده متن بیشتری وارد نکرده‌است.

Comments

@eski درست بیان کردن پرسش مهم است. «گردایه‌ای از مجموعه‌های با فلان ويژگی» به معنای یک مجموعه است که اعضایش به شکلی که گفته شده است ولی الزاما همهٔ عضوهایی که آن شکل را دارند را در برندارد. چیزی که شما مد نظرتان است «گردایهٔ مجموعه‌های با فلان ویژگی» است یعنی «ای» و «از» که پیش‌تر نوشته بودید معنا را کاملا متفاوت می‌ساخت.

Answer 1

فرض کنید $ X $ یک مجموعه دلخواه باشد در اینصورت گردایه $\mathcal A $ متشکل از تمام زیرمجموعه‌های شمارا یا متمم شمارا یک سیگماجبر است.

اثبات: اینکه گردایه $\mathcal A$ ناتهی است واضح است. به علاوه

1. اگر $ E\in \mathcal A $ در اینصورت $E $ یا $ E^c $ شمارا است بنابراین $ E^c\in\mathcal A $ .

2. اگر $ E_1, E_2,...\in\mathcal A $ در اینصورت دو حالت داریم :

   • یا برای هر $ i $ مجموعه‌های $ E_i $ شمارا هستند که در اینصورت $ \bigcup_i E_i $ شمارا بوده و لذا $ \bigcup_i E_i\in \mathcal A $ .
   • یا حداقل برای یک $i $ داریم $ E_i^c $ شمارا است در اینصورت $ \bigcap_i E_i^c\subset E_i^c $ شمارا بوده و این یعنی $ ( \bigcup_i E_i)^c= \bigcap_i E_i^c $ شمارا است و لذا باز هم $ \bigcup_i E_i\in\mathcal A $ .

لذا در هر حالت ثابت شد که $ \bigcup_i E_i\in\mathcal A$ و مساله ثابت است.

Comments

@fardina شرط $\emptyset,X\in\mathcal{A}$ را فراموش کردید اشاره کنید که خب البته بدیهی هستند. ولی چرا باید $X$ را ناتهی فرض کنیم؟ دلیل خاصی برایش نمی‌بینم، در تعریف $\sigma$-جبر نیز شرط ناتهی بودنِ مجموعهٔ پس‌زمینه را نداریم.

---

@AmirHosein
در مورد فرض ناتهی بودن $X$ حق با شماست. شرطی اضافه نوشتم که ویرایش می کنم.
در مورد اینکه $\emptyset, X\in \mathcal A$ برای هر سیگماجبر $\mathcal A$ برقرار است. چرا که در تعریف سیگماجبر $\mathcal A\neq \emptyset$ و لذا $E\in\mathcal A$ وجود دارد پس $E^c\in \mathcal A$ و لذا $X=E\cup E^c\in \mathcal A$ و $\emptyset =X^c\in \mathcal A$.

---

@fardina بلی اگر در تعریف، شرط ناتهی بودنِ گردایه گذاشته شود، آنگاه با استدلالی که آوردید، شرطی که گفتم خود به خود نتیجه می‌شود. ولی در این صورت شرط «ناتهی بودنِ $\mathcal{A}$» هنوز نیاز به نشان دادنِ عضویت حداقل یک عضو دارد که خود به خود از دو شرط ۱ و ۲ نتیجه نمی‌شود.
البته در تعریف $\sigma$-جبر در کتاب Real and Complex Analysis نوشتهٔ Walter Rudin ویرایش سوم، صفحهٔ ۸، تعریف ۱.۳، شرط ناتهی بودن آورده نشده‌است. ولی خب از شرطِ $X\in\mathcal{A}$ نتیجه می‌شود.

---

@AmirHosein
بله در اکثر کتاب هایی که من دیدم مثل کتاب Real Analysis از G.B Folland یا Principles of Real Analysis از Aliprantis ، به جای عضویت $\emptyset$ و $X$ در سیگماجبر شرط ناتهی بودن آمده است.
متوجه جمله بعدی تان نشدم: "ولی در این صورت شرط «ناتهی بودنِ $\mathcal A$» هنوز نیاز به نشان دادنِ عضویت حداقل یک عضو دارد که خود به خود از دو شرط ۱ و ۲ نتیجه نمی‌شود."
اگر $\mathcal A\neq \emptyset$ آنگاه حتما حداقل یک عضو مثل $E$ در $\mathcal A$ وجود دارد.

---

@fardina توضیح جملهٔ یادشده: برای نمونه در این پرسش یک گردایه داریم که می‌خواهیم ثابت کنیم که $\sigma$-جبر است. بیاییم از تعریف Folland استفاده کنیم. در این صورت فقط نشان دادنِ برقرار بودنِ شرط ۱ و ۲ کفایت نمی‌کند چون در صورتِ تعریف‌تان گفته‌اید یک $\sigma$-جبر یک گردایهٔ ناتهی با آن دو شرط است. و اینکه برقرار بودن شرط ۱ و ۲، ناتهی بودنِ گردایه را نتیجه نمی‌دهد. پس درست است که در ظاهر در تعریف دو شماره گذاشته‌اید ولی هنوز شرط سومی هم دارید که ناتهی بودنِ گردایه است.
پس مانند تعریف رودین هنوز باید عضویت یک مجموعه را نشان دهید ولی با تعریف Folland، در انتخاب اینکه چه عضوی را نشان دهید آزادی دارید. البته این دو تعریف بنا به اثباتی که در دیدگاه‌تان آوردید هم‌ارز هستند.

---

@AmirHosein
بله متوجه منظورتان شدم. یک جمله به ابتدای اثباتم اضافه کردم.