با استقرا روی تعداد نقاط حکم را ثابت میکنیم.
اگرتعداد نقاط برابر $2$ آنگاه داریم:
$f[ x_{0} ^{r},x_{1} ^{r}]= \frac{f(x_{1} ^{r})-f(x_{0} ^{r})}{x_{1} ^{r}-x_{0} ^{r}} $
چون تابع $ $ پیوسته است لذا با حد گیری از رابطه ی بالا واینکه $ \lim_{r \rightarrow \infty } f(x_{i} ^{r})=f(y_{i} ) $ داریم:
$ \lim_{r \rightarrow \infty } f[ x_{0} ^{r},x_{1} ^{r}]= \lim_{r \rightarrow \infty } \frac{f(x_{1} ^{r})-f(x_{0} ^{r})}{x_{1} ^{r}-x_{0} ^{r}} = \frac{f(y_{1} )-f(y_{0} )}{y_{1} -y_{0} }=f[ y_{0} , y_{1}] $
حال فرض می کنیم حکم برای تمام تفاضلات تقسیم شده با تعداد $n$ نقطه درست باشد. نشان میدهیم حکم برای حکم برای $n+1$ نقطه نیز درست است.
$$ \begin{align} \lim_{r \rightarrow \infty } f[x_{0} ^{r},x_{1} ^{r},...,x_{n} ^{r}] &=\lim_{r \rightarrow \infty }\frac{f[x_{1} ^{r},...,x_{n} ^{r}]-f[x_{0} ^{r},...,x_{n-1} ^{r}]}{x_{n} ^{r}-x_{0} ^{r}} \\
&=\frac{\lim_{r \rightarrow \infty } (f[x_{1} ^{r},...,x_{n} ^{r}]-f[x_{0} ^{r} ,...,x_{n-1} ^{r}])}{ \lim_{r \rightarrow \infty } (x_{n} ^{r}-x_{0} ) ^{r}}\\
&=\frac{f[ y_{1} ,..., y_{n} ] -f[ y_{0} ,..., y_{n-1} ] }{ y_{n}-y_{0}} \\
&=f[ y_{0} , y_{1} ,..., y_{n} ]
\end{align} $$
