ابتدا دقت کنید داریم:
$$ \bigtriangleup = E-1 \Rightarrow \bigtriangleup ^{k} = (E-1)^{k} = E^{k}(1- \frac{1}{E} )^{k} $$
با بسط دو جمله ای عبارت آخر و ضرب آن در $ E^{k}$ داریم:
$$ \bigtriangleup ^{k} = \sum_{m=0}^k ( -1)^{m} {k \choose{m} } E^{k-m} $$
حال با اثر دادن آن رو ی $ f_{i} $ وتوجه به اینکه $E^{k-m} f_{i}=f_{i+k-m} $ داریم:
$$ \bigtriangleup ^{k} f_{i} = \sum_{m=0}^k ( -1)^{m} {k \choose{m} } E^{k-m} f_{i}= \sum_{m=0}^k ( -1)^{m} {k \choose{m} } f_{i+k-m} $$
