در یک ماتریس $n*n$ اعداد صحیح نامنفی نوشته شده اند.اگر در خانه ای عدد ۰ قرار داشته باشد مجموع اعداد ستون و سطری که ان خانه در ان قرار دارد حداقل برابر $n$ است ثابت کنید مجموع اعداد ماتریس حداقل برابر $\frac{n^2}{2}$ است.
اگر مجموع اعداد سطرها و ستون ها را در یک مجموعه قرار دهیم و کوچکترین انها را $k$ بنامیم اگر $k \ge \frac{n}{2}$ انگاه واضح است که حکم درست است.پس در نظر می گیریم$k<\frac{n}{2}$ فرض می کنیم که مجموع اعداد در سطر $a$ ام برابر حداقل مقدار یا همان $k$ است.انگاه حداقل $n-k$ تا صفر در این ردیف داریم که نشان می دهد.تعداد صفر ها در این ردیف را $m$ بنامیم.انگاه حداقل مجموع اعداد جدول برابر است با :
$m(n-k)+(n-m)k$
حالا باید چه طور نشون بدیم این مقدار از $\frac{n^2}{2}$ بزرگتر یا مساوی هست؟
