دو شکل $A$ و $B$ (که می توانید به عنوان مجموعه ای از نقاط در نظر بگیرید) از صفحه اقلیدسی همنهشت هستند هر گاه هرکدام را بتوان توسط یک ایزومتری(یعنی حافظ فاصله) به دیگری تبدیل کرد. به عبارت دیگر هرگاه تابعی یک به یک و پوشا مثل $T:A\to B$ موجود باشد که $T(A)=B$ و $ |T(a)-T(b)|=|a-b| $ به ازای هر $a,b\in A$ . می توان نشان داد چنین تبدیلهایی عبارت خواهند بود از انتقال به اندازه یک بردار، بازتاب، دوران و یا ترکیبی از این سه.
و دو شکل $A$ و $B$ متشابه هستند تابعی یک به یک و پوشا $f:A\to B$ موجود باشد که $f(A)=B$ و عدد حقیقی $r>0$ ی موجود باشد که $|f(a)-f(b)|=r|a-b|$ به ازای هر $a,b\in A$ (یعنی همه فاصله ها را $r$ برابر خواهد کرد) . می توان نشان داد چنین توابعی به صورت ضرب عدد حقیقی $f=rT+v$ خواهد بود که $r$ عددی است که فاصله ها در آن ضرب می شود و $T$ تبدیلی است که در قسمت همنهشتی معرفی کردیم و $v$ هم یک انتقال است.
و در نهایت هم خوب است بدانید می توان ثابت کرد که هر تبدیل خطی که ایزومتری باشد حافظ زاویه هم خواهد بود.
کاملتر در اینجا بخوانید:
https://en.wikipedia.org/wiki/Congruence_(geometry)
https://en.wikipedia.org/wiki/Similarity_(geometry)
