Question

ثابت کنید ارتفاع های هر مثلث هم رسند

Answer 1

ابتدا از هر یک از زوایای مثلث خطی موازی با ضلع رو به روی آن رسم میکنیم تا مثلث جدید مطابق شکل زیر به دست آید.

سپس ارتفاع یکی از زوایای آن را رسم میکنیم. از آنجا که ضلع DE با BC موازی است پس AH بر DE نیز عمود است (شکل زیر)

با توجه با رابطه شکل زیر پی میبریم که عمود منصف های هر مثلث همرسند. پس اگر ثابت کنیم AH منصف ضلع DE نیز است از آنجا که AH ارتفاع ABC نیز است ثابت میشود ارتفاع های هر مثلث همرسند زیرا عمود منصف مثلث بزرگتر نیز میشوند( البته در اینجا فقط یک ارتفاع را مثال زده ایم ولی قطعا اثبات همین یک ارتفاع نیز کافی است زیرا بقیه ارتفاع ها نیز به همین شکل هستند)

پس با توجه به مطالب بالا حکم مسئله تبدیل میشود به : DA=EA

چهار ضلعی ABCE را در نظر بگیرید(رنگ قرمز شکل زیر) این چهار ضلعی متوازی الاضلاع است پس AE=BC

سپس چهار ضلعی ADBC را در نظر بگیرید(سبز رنگ شکل زیر) این چهار ضلعی نیز متوازی الاضلاع است پس AD=BC

از دو نتیجه بالا نتیجه میگیریم AD=EA زیرا هر دو برابر با BC هستند پس AH عمود منصف DA است و از آنجا که عمود منصف های هر مثلث هم رسند و AH ارتفاع مثلث کوچکتر نیز است پس ازتفاع های هر مثلث نیز هم رسند.

(اگه توضیحات اضافه یا ناقص بودند ممنون میشم دوستان کمک کنند و پاسخ رو ویرایش کنند)

Answer 2

چون $\angle AB'B= \angle AA'B =90$ بنابر این چهار ضلعی $AB'A'B'$ محاطی است .بنابر این :

$$\angle A_{1}= \angle B_{2}$$ $$\angle A_{2} = \angle C_{1}$$ $$\angle B_{1}= \angle C_{2}$$

در نتیجه داریم :

$$\frac{siin( \angle A_{1})}{sin( \angle A_{2})} . \frac{sin( \angle B_{1})}{sin( \angle B_{2})} . \frac{sin( \angle C_{1})}{sin( \angle C_{2})} =1$$

بنابراین طبق قضیه سوا در حالت سینوسی ارتفاع ها در مثلث همرس هستند