به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
7,677 بازدید
در دبیرستان توسط Hamid_kh

ثابت کنید ارتفاع های هر مثلث هم رسند

2 پاسخ

+3 امتیاز
توسط Hamid_kh

ابتدا از هر یک از زوایای مثلث خطی موازی با ضلع رو به روی آن رسم میکنیم تا مثلث جدید مطابق شکل زیر به دست آید. enter image description here

سپس ارتفاع یکی از زوایای آن را رسم میکنیم. از آنجا که ضلع DE با BC موازی است پس AH بر DE نیز عمود است (شکل زیر) enter image description here

با توجه با رابطه شکل زیر پی میبریم که عمود منصف های هر مثلث همرسند. enter image description here پس اگر ثابت کنیم AH منصف ضلع DE نیز است از آنجا که AH ارتفاع ABC نیز است ثابت میشود ارتفاع های هر مثلث همرسند زیرا عمود منصف مثلث بزرگتر نیز میشوند( البته در اینجا فقط یک ارتفاع را مثال زده ایم ولی قطعا اثبات همین یک ارتفاع نیز کافی است زیرا بقیه ارتفاع ها نیز به همین شکل هستند)

پس با توجه به مطالب بالا حکم مسئله تبدیل میشود به : DA=EA

چهار ضلعی ABCE را در نظر بگیرید(رنگ قرمز شکل زیر) این چهار ضلعی متوازی الاضلاع است پس AE=BC enter image description here

سپس چهار ضلعی ADBC را در نظر بگیرید(سبز رنگ شکل زیر) این چهار ضلعی نیز متوازی الاضلاع است پس AD=BC enter image description here

از دو نتیجه بالا نتیجه میگیریم AD=EA زیرا هر دو برابر با BC هستند پس AH عمود منصف DA است و از آنجا که عمود منصف های هر مثلث هم رسند و AH ارتفاع مثلث کوچکتر نیز است پس ازتفاع های هر مثلث نیز هم رسند.

(اگه توضیحات اضافه یا ناقص بودند ممنون میشم دوستان کمک کنند و پاسخ رو ویرایش کنند)

+2 امتیاز
توسط saderi7

enter image description here چون $ \angle AB'B= \angle AA'B =90$ بنابر این چهار ضلعی $AB'A'B'$ محاطی است .بنابر این :

$$ \angle A_{1}= \angle B_{2}$$ $$ \angle A_{2} = \angle C_{1}$$ $$ \angle B_{1}= \angle C_{2}$$

در نتیجه داریم :

$$ \frac{siin( \angle A_{1})}{sin( \angle A_{2})} . \frac{sin( \angle B_{1})}{sin( \angle B_{2})} . \frac{sin( \angle C_{1})}{sin( \angle C_{2})} =1$$

بنابراین طبق قضیه سوا در حالت سینوسی ارتفاع ها در مثلث همرس هستند

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...