روش حل معادلات شامل تابع چندجمله ای و تابع نمایی

Question

روش کلی حل معادلات شامل تابع چندجمله ای و نمایی چگونه است؟ (به جز روش هندسی) مثال

1. $x^{2} = 2^{x}$
2. $\frac{x+1}{x} = e ^{ \frac{1}{x+1} }$

مثال دوم در یافتن ریشه مشتق تابع $( 1+ \frac{1}{x}) ^{x}$ پیش می آید.

Comments

آیا هیچ روشی وجود ندارد؟

---

@AEbrahimiB
جواب دقیق منظورتون هستش؟
چون روش‌هایی وجود داره که می‌تونید بر اساس آن روش‌ها، تقریب‌های تا میزان لازم نزدیک به جواب به دست آورد

---

بله جواب دقیق
روش تقریبی پیدا کردن جواب رو می‌دونم

---

با تابع امگا میشه حل کرد این معادلاتو .اگر اشنایی ندارید به این تابع :مراجعه کنید به این لینک مطالبه خوبی گیرتون میاد
https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function

Answer 1

همانطور که در دیدگاه نوشتم این معادلات با تابع لمبرت حل میشوند . در حالت کلی برای معادله هایی به صورت :

$$A+Bx+C\ln(Dx+E)=0$$

از تابع لمبرت استفاده میکنیم . و جواب خواهد بود :

$$x=\frac{C}{B}W\left(\frac{B e^{(\dfrac{B E-A D}{C D})}}{C D}\right)-\frac{E}{D}$$

حال به سوال میپردازیم :

$$x^2=2^x$$ $$x^2 = 2^x \Rightarrow (x^2)^{\frac{1}{2}} = (2^x)^\frac{1}{2} \Rightarrow x= 2^\frac{x}{2}$$

از دو طرف لگاریتم میگیریم :

$$\ln x=\dfrac{x}{2}\ln 2$$ $$\ln x=x\ln \sqrt2$$ $$\ln x-\ln \sqrt2x=0$$

در نتیجه خواهیم داشت :

$$x=\frac{1}{-\ln \sqrt2}W\left(-\ln \sqrt2 \right)$$