همانطور که در دیدگاه نوشتم این معادلات با تابع لمبرت حل میشوند .
در حالت کلی برای معادله هایی به صورت :
$$A+Bx+C\ln(Dx+E)=0$$
از تابع لمبرت استفاده میکنیم . و جواب خواهد بود :
$$x=\frac{C}{B}W\left(\frac{B e^{(\dfrac{B E-A D}{C D})}}{C D}\right)-\frac{E}{D}$$
حال به سوال میپردازیم :
$$x^2=2^x$$
$$x^2 = 2^x \Rightarrow (x^2)^{\frac{1}{2}} = (2^x)^\frac{1}{2} \Rightarrow x= 2^\frac{x}{2}$$
از دو طرف لگاریتم میگیریم :
$$\ln x=\dfrac{x}{2}\ln 2$$
$$\ln x=x\ln \sqrt2$$
$$\ln x-\ln \sqrt2x=0$$
در نتیجه خواهیم داشت :
$$x=\frac{1}{-\ln \sqrt2}W\left(-\ln \sqrt2 \right)$$
